120-Zell

Konstruktion als duales Polytop des 600-Zells

Das 120-Zell kann als duales Polytop des 600-Zells konstruiert werden. Dabei sind die Ecken des dualen Polytops durch die Mittelpunkte der Zellen des Ausgangspolytops gegeben.^[2.4] Die Ecken des 120-Zells sind daher durch die Mittelpunkte der Tetraeder des 600-Zells bestimmt. Damit ist nachgewiesen, dass das 120-Zell aus 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Flächen und 120 Zellen besteht.

Zur Berechnung der Mittelpunkte der Tetraeder des 600-Zells können beispielsweise dessen Konstruktionen über vierdimensionale Kugelkoordinaten oder über kartesische Koordinaten verwendet werden. Ludwig Schläfli wies die Existenz des 120-Zells auf diesem Weg nach, gab aber keine explizite Koordinatendarstellung an.^[5.7][6.3] Pieter Schoute verwendete dieselbe Konstruktion und gab als erster explizite Koordinaten des 120-Zells an.^[21.1]

Die aus den kartesische Koordinaten des 600-Zells abgeleiteten Koordinaten des 120-Zells lauten in moderner Schreibweise:^[2.5]

• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,\pm 1,0,0)^{\top }}$ (24 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm {\sqrt {5}},\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (64 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm \tau ,\pm \tau ,\pm \tau ,\pm \tau ^{-2})^{\top }}$ (64 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm \tau ^{2},\pm \tau ^{-1},\pm \tau ^{-1},\pm \tau ^{-1})^{\top }}$ (64 Punkte),
• alle geraden Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm \tau ^{2},\pm \tau ^{-2},\pm 1,0)^{\top }}$ (96 Punkte),
• alle geraden Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm {\sqrt {5}},\pm \tau ^{-1},\pm \tau ,0)^{\top }}$ (96 Punkte) und
• alle geraden Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\pm 2,\pm 1,\pm \tau ,\pm \tau ^{-1})^{\top }}$ (192 Punkte).

Hierbei bezeichnet ${\textstyle \tau =({\sqrt {5}}+1)/2=2\cos(\pi /5)\approx 1{,}618034}$ den goldenen Schnitt.^[2.6] Die Koordinaten der Ecken wurden so normiert, dass sie auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Dodekaeder haben damit eine Länge von ${\textstyle 2^{-1/2}\tau ^{-2}}$.

Aufgrund der Dualität des 120-Zells und des 600-Zells lassen sich bestimmte Eigenschaften der Konstruktion des 600-Zells auf das 120-Zell übertragen. Beispielsweise bilden die Ecken des 600-Zells in dessen Konstruktionen über vierdimensionale Kugelkoordinaten und über kartesische Koordinaten neun Schichten entlang einer Diagonalen zwischen gegenüberliegenden Ecken. Dual dazu bilden die Zellen (Dodekaeder) des 120-Zells neun Schichten entlang einer Diagonalen zwischen gegenüberliegenden Zellenmittelpunkten. Die Schichtung der Dodekaeder ist 1, 12, 20, 12, 30, 12, 20, 12, 1.^[20.3]

Visualisierung der Konstruktion des 120-Zells

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 120-Zells aus den oben beschriebenen neun Schichten von Dodekaedern. Dabei werden die Dodekaeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(-1,0,0,0)^{\top }}$. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{2}x_{3}x_{4}}$-Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Im ersten Teil des Videos werden die Dodekaeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 120-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Dodekaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Dodekaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 120-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Dodekaeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die 119 zuvor eingeblendeten Dodekaeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Dodekaeder disjunkt zu allen übrigen.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 120-Zells nach Einblendung aller neun Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 120-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 120-Zells dar.

Im Anschluss werden die Dodekaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Dodekaeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Dodekaeder deren Anzahl dargestellt.

Der erste Teil des Videos visualisiert auch die von Stringham angegebene Konstruktion des 120-Zells.^[9.2] Die von Hand gezeichneten Abbildungen 18–21 in seiner Arbeit entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 13, 33, 45 und 75 Tetraedern. Die restlichen Schichten werden von Stringham nicht explizit konstruiert. Er gibt stattdessen an, dass ein weiterer Komplex aus 45 Dodekaedern, der symmetrisch zum ersten Komplex aus 45 Dodekaedern ist, das 120-Zell vervollständigt.

Der zweite Teil des Videos visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 120-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 120-Zell mit einem daraus entfernten Dodekaeder aus, so dass die restlichen 119 Dodekaeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Danach werden die Dodekaeder schichtenweise entfernt. Allerdings verwendet Schlegel eine andere Definition der Schichten als Schoute und Stringham: eine Schicht wird definiert als alle Dodekaeder, die über eine Fläche, Kante oder Ecke mit einem Fünfeck in der äußersten Schicht des Gebildes verbunden sind. Insgesamt ergeben sich fünf Schichten, die aus 12, 32, 42, 32 und 1 Dodekaedern bestehen. Die Schichten entsprechen daher im Video den Zeitpunkten, an denen 119, 107, 75, 33 und 1 Dodekaeder zu sehen sind.

Koordinatenstellungen des 120-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[20.4] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[20.5][22][23][21][24][2.7]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.7] Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine zellenzentrierte Zentralprojektion des 120-Zells.

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in den meisten Fällen mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf rote Ecken werden jeweils eine Ecke, auf orangefarbene jeweils zwei, auf gelbe jeweils vier, auf hellgrüne jeweils sechs und auf grüne jeweils acht Ecken des 120-Zells projiziert. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 120-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 120-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.

Die zweite und dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigen ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Die Blickrichtung der zweiten Abbildung entspricht der in der ersten Abbildung in diesem Abschnitt. Aufgrund der Orthogonalprojektion werden 540 der 600 Ecken in Paaren von zwei auf dieselbe Ecke des Modells projiziert, so dass dieses 330 Ecken hat. Die vierte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 120-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Die im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten sind zellenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine flächenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\left({\begin{array}{cccc}2&{\sqrt {5}}-1&0&0\\1-{\sqrt {5}}&2&0&0\\0&0&2&{\sqrt {5}}-1\\0&0&1-{\sqrt {5}}&2\end{array}}\right).}$

Eine kantenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}}\left({\begin{array}{cccc}3+{\sqrt {5}}&2&0&0\\-2&3+{\sqrt {5}}&0&0\\0&0&3+{\sqrt {5}}&2\\0&0&-2&3+{\sqrt {5}}\\\end{array}}\right).}$

Eine eckenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}}\left({\begin{array}{cccc}2+{\sqrt {5}}&-1&-1&-1\\1&2+{\sqrt {5}}&1&-1\\1&-1&2+{\sqrt {5}}&1\\1&1&-1&2+{\sqrt {5}}\\\end{array}}\right).}$

Schoute hat für alle vier Koordinatenstellungen des 120-Zells deren Koordinaten vollständig aufgelistet.^[21.2] Die eckenzentrierten Koordinaten lassen sich wie folgt kompakt darstellen:^[2.8]

• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},1)^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}(\tau ^{2},\tau ^{2},\tau ^{-1}{\sqrt {5}},\tau ^{-1})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (96 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}(\sigma ,\tau ^{-1},\tau ^{-1},\tau ^{-1})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}(\tau {\sqrt {5}},\tau ,\tau ^{-2},\tau ^{-2})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (96 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}(\sigma ',\tau ,\tau ,\tau )^{\top }}$ mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{4}}(3,{\sqrt {5}},1,1)^{\top }}$ mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (96 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte),
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte) und
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm \tau ,\pm 1,\pm \tau ^{-1},0)^{\top }}$ (192 Punkte).

Dabei sind ${\textstyle \sigma ={\frac {1}{2}}(3{\sqrt {5}}+1)}$ und ${\textstyle \sigma '={\frac {1}{2}}(3{\sqrt {5}}-1)}$.

Visualisierung der Konstruktion des 120-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 120-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung. Im Gegensatz zur zellenzentrierten Koordinatenstellung ergeben sich hierdurch, wie von Pieter Schoute angegeben, 15 statt neun Schichten von Dodekaedern.^[20.7] Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(-1,0,0,0)^{\top }}$. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{2}x_{3}x_{4}}$-Hyperebene. Diese Art der Zentralprojektion hat den Vorteil, dass sich die Dodekaeder in der Projektion nicht gegenseitig durchdringen (bis auf die unten beschriebene Ausnahme). Sie hat den Nachteil, dass die nahe am Projektionszentrum liegenden Schichten des 120-Zells stark perspektivisch verzerrt dargestellt werden.

Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Dodekaeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Dodekaeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 120-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Dodekaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Dodekaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 120-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ist bei der letzten Schicht zu beachten. Die vier Dodekaeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt im Projektionszentrum. Daher würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der ${\textstyle x_{2}x_{3}x_{4}}$-Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die letzte Schicht scheinbar die anderen 14 Schichten durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Schicht disjunkt zu allen anderen Schichten.

Im Anschluss werden die Dodekaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell der Projektion eines 120-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Es entspricht dem Zustand im Video nach Einblendung aller 15 Schichten von Dodekaedern. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Konstruktion des 120-Zells aus zwölf Dodekaederringen

Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 600-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 600-Zells ergeben.^[2.9] Die Koordinatenstellung des 600-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 600-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Tetraeder.^[2.10] Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.^[2.11] Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.

Aus den Mittelpunkten der Tetraeder des 600-Zells lassen sich, wie im Abschnitt Konstruktion als duales Polytop des 600-Zells beschrieben, die Ecken des 120-Zells in der jeweiligen Koordinatenstellung berechnen. In der Koordinatenstellung relativ zur Coxeter-Ebene werden die 600 Ecken des 120-Zells in zwölf Konzentrische Kreise projiziert.^[2.12] Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt, dass auf vier der Kreise jeweils 30 Ecken liegen und auf den restlichen acht Kreisen jeweils 60 Ecken. Neben ihrer hohen Symmetrie hat diese Projektion den Vorteil, dass alle Ecken des 120-Zells auf unterschiedliche Punkte projiziert werden.

Eine Zeichnung dieser Projektion wurde erstmals von Willem Abraham Wijthoff angefertigt, aber nie von ihm selbst veröffentlicht.^[2.12][2.13] Die erste veröffentlichte Version dieser Projektion wurde von Bruce L. Chilton erstellt.^{[25.1][2.12][26.1]} Die von Wijthoff angefertigte Zeichnung wurde schließlich 2006 in einem Nachruf auf H. S. M. Coxeter veröffentlicht.^[27.1]

Wie bei der am Anfang dieses Abschnitts verlinkten Konstruktion des 600-Zells beschrieben, werden die Ecken des 600-Zells in der Koordinatenstellung relativ zur Coxeter-Ebene mittels der Hopf-Abbildung in zwölf planare Zehnecke unterteilt, von denen jeweils zwei miteinander eine Hopf-Verschlingung bilden. Da die Ecken des 600-Zells dual zu den Mittelpunkten des 120-Zells sind, bedeutet dies, dass das 120-Zell aus zwölf Ringen von jeweils zehn Dodekaedern besteht.^{[28.1][29.1][30.1]}

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt einen der zwölf Dodekaederringe im 120-Zell in einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion. Die dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell. Die Mittelpunkte der Dodekaeder liegen in der Hyperebene ${\displaystyle x_{4}=0}$; die Projektion erfolgt vom Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$. Aufgrund der Zentralprojektion erscheinen die Dodekaeder leicht perspektivisch verzerrt. Im vierdimensionalen Raum sind sie reguläre Dodekaeder.

Jeder der Dodekaederringe ist topologisch ein Volltorus. Alle zwölf Dodekaederringe bilden paarweise eine Hopf-Verschlingung.^[28.1] Der Aufbau des 120-Zells aus den Dodekaederringen stellt daher eine diskrete Version der Hopf-Faserung dar.^[29.1]

Eine verwandte Konstruktion wird von Coxeter beschrieben.^[31.1] Er geht von einer Säule von zehn aufeinander gestapelten Dodekaedern im dreidimensionalen Raum aus. Diese Säule lässt sich im vierdimensionalen Raum zu einem Dodekaederring falten, indem die Dodekaeder im vierdimensionalen Raum um die Ebene der Fünfecke, an denen sie paarweise aneinandergrenzen, rotiert werden. Dadurch entsteht der in der zweiten Abbildung in diesem Abschnitt dargestellte Dodekaederring. Der Ring wird aber nicht sofort erzeugt. Zunächst wird noch an jeder der 50 konkaven Kanten der Fünfecke, an denen die Dodekaeder aneinander grenzen, ein Dodekaeder angebracht. Hierdurch entsteht eine Säule von 60 Dodekaedern, die im vierdimensionalen Raum zu einem Ring zusammengefaltet werden kann. Der Ring aus 60 Dodekaedern besteht aus sechs Ringen von zehn Dodekaedern.^[28.1] Er bildet eine Hälfte des 120-Zells und stellt topologisch einen Volltorus dar, dessen Oberfläche leicht nach innen und außen gefaltet ist.^[31.1]

Die zweite Hälfte des 120-Zells besteht aus den restlichen 60 Dodekaedern. Sie bilden im vierdimensionalen Raum einen zur ersten Hälfte des 120-Zells kongruenten Volltorus.^[31.1][28.1] Dies ist analog dazu, dass sich die 3-Sphäre aus zwei kongruenten Volltori zusammensetzen lässt.^[32.1][33.1]

Visualisierung der Konstruktion des 120-Zells aus zwölf Dodekaederringen

Das erste Video in diesem Abschnitt visualisiert den Aufbau einer Hälfte des 120-Zells aus sechs Dodekaederringen. Das 120-Zell wird mit einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion vom Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$ projiziert. Diese Projektion hat den Vorteil, dass sich die Dodekaeder in der Projektion nicht gegenseitig durchdringen. Die sechs Ringe werden nacheinander in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um möglichst gut darzustellen, dass die Ringe miteinander Hopf-Verschlingungen bilden.

Im zweiten Video dieses Abschnitts wird der Aufbau des gesamten 120-Zells aus zwölf Dodekaederringen visualisiert. Der Fokus des Videos liegt auf der Darstellung der oben beschriebenen diskreten Hopf-Faserung des 120-Zells durch die Dodekaederringe. Um die Struktur der Hopf-Faserung möglichst gut zu veranschaulichen, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.^[32.2] Die Dodekaeder werden in Richtung senkrecht zu den kreisförmigen Achsen der Dodekaederringe auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße. Dadurch werden die gegenseitigen Hopf-Verschlingungen besser erkennbar.

Die Dodekaederringe werden nacheinander transparent und in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie möglichst gut darzustellen. Nachdem sechs Ringe eingeblendet wurden, werden sie auf ihre tatsächliche Größe vergrößert. Dies visualisiert, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Im Anschluss werden die Ringe wieder auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. Danach werden die restlichen sechs Dodekaederringe eingeblendet. Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Ring: seine kreisförmige Achse wird durch die Zentralprojektion auf eine Gerade projiziert. Daher erscheint dieser Ring als Säule. Da die Achse sehr nahe am Projektionszentrum verläuft, würden zwei der zehn Dodekaeder durch die Projektion sehr stark verzerrt dargestellt und würden die anderen Ringe durchdringen. Diese zwei Dodekaeder werden daher nicht visualisiert, so dass der Eindruck entsteht, der letzte Dodekaederring wäre kein Ring. Dies ist aber nur ein Artefakt der gewählten Darstellung. Im vierdimensionalen Raum ist der letzte Ring, wie alle anderen, ein geschlossener Ring aus zehn Dodekaedern, der mit allen anderen Ringen verschlungen ist. Zum Ende des Videos werden alle zwölf Dodekaederringe auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Um das 120-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert.

Charakteristisches Simplex des 120-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 120-Zells.^[40.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 120-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{5,3,3\}}$):^[2.17][2.18]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 120-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=36^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.19]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.20] Durch Anwendung aller 14.400 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 120-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Dodekaeder besteht aus 120 charakteristischen Simplexen.^[38.2]

Darstellung der Symmetriegruppe des 120-Zells und der Ikosaedergruppe durch die Mittelpunkte der Zellen des 120-Zells

Die Ecken des 600-Zells stellen seine eigene Symmetriegruppe dar. Diese Repräsentation ist im Artikel über das 600-Zell im Abschnitt Darstellung der Symmetriegruppe des 600-Zells durch seine Ecken genauer beschrieben. Da das 600-Zell dual zum 120-Zell ist, entsprechen die Ecken des 600-Zells eineindeutig den Mittelpunkten der Zellen des 120-Zells. Nach Projektion auf die 3-Sphäre vom Radius 1 lassen sich die Mittelpunkte der Zellen des 120-Zells daher als Einheitsquaternionen interpretieren, die die Symmetriegruppe des 120-Zells darstellen.

Außerdem stellen die Ecken des 600-Zells, wie im Artikel über das 600-Zell im Abschnitt Darstellung der Ikosaedergruppe durch Ecken des 600-Zells beschrieben, die Ikosaedergruppe dar.^[25.2] Daher repräsentieren die Mittelpunkte der Zellen des 120-Zells nach Projektion auf die 3-Sphäre vom Radius 1 die Ikosaedergruppe.^[25.3]