16-Zell

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 16-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Tetraeder, die die Zellen bilden. Er zeigt außerdem, dass die Eckfigur ein Oktaeder ist. Die Ecken des 16-Zells sind gegeben durch:^{[5.3][6.3][2.4]}

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte).

Die Koordinaten der Ecken liegen auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Die Kanten der Tetraeder haben damit eine Länge von ${\textstyle {\sqrt {2}}}$.

Insgesamt hat das 16-Zell daher 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Dreiecke und 16 Tetraeder.^{[5.3][6.3][2.5]}

Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 16-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Ecken drei Schichten bilden, die 1, 6, und 1 Ecken enthalten.^[20.3] Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen zwei Schichten mit jeweils 8 Tetraedern bilden.

Visualisierung der Konstruktion des 16-Zells

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 16-Zells aus den oben beschriebenen zwei Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene.

Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 16-Zells darzustellen. Die beiden Schichten werden nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherige Schicht angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 16-Zells zu visualisieren.

Eine Besonderheit ist bei der zweiten Schicht zu beachten. Die acht Tetraeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt im Projektionszentrum. Daher würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die zweite Schicht scheinbar die erste Schicht durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die zweite Schicht disjunkt zur ersten.

Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt.

Die von Hand gezeichnete Abbildung 5 in der Arbeit von Stringham^[9.2] entspricht sinngemäß dem Zustand nach der Einblendung von acht Tetraedern: beide visualisieren, dass an einer Ecke des 16-Zells acht Tetraeder aneinander grenzen.

Koordinatenstellungen des 16-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[20.4] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[20.5][21][22][23][24][2.6]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.6] Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 16-Zells.

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 16-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in einem Fall mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf die roten Ecken werden jeweils eine Ecke und auf die orangefarbene Ecke vier Ecken des 16-Zells projiziert. Aus der Abbildung sind die oben beschriebenen drei Schichten von Ecken klar erkennbar. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 16-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 16-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.

Die im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten des 16-Zells sind eckenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine kantenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&1\\0&0&1&-1\\1&1&0&0\\1&-1&0&0\end{array}}\right).}$

Eine flächenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehspiegelungsmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&-1&1\\1&1&0&-1\\1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

Eine zellenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehspiegelungsmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\right).}$

Damit ergeben sich die zellenzentrierten Koordinaten des 16-Zells als:

• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (8 Punkte).

Visualisierung der Konstruktion des 16-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 16-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung. Es ergeben sich fünf Schichten von Tetraedern mit der Schichtung 1, 4, 6, 4, 1.^[20.7] Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,0.8)^{\top }}$ verwendet. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 16-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 16-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Tetraeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die 15 zuvor eingeblendeten Tetraeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Tetraeder disjunkt zu allen übrigen.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 16-Zells nach Einblendung aller fünf Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden.

Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 16-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 16-Zell mit einem daraus entfernten Tetraeder aus, so dass die restlichen 15 Tetraeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 16-Zells explizit in der Abbildung 11 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem 15 Tetraeder eingeblendet wurden.

Konstruktion aus Boerdijk-Coxeter-Helices

Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 16-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 16-Zells ergeben.^[2.7] Die Koordinatenstellung des 16-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 16-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Tetraeder.^[2.8] Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.^[2.9] Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.

Die von Coxeter angegebenen Koordinaten sind:^[2.7]

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left({\begin{array}{ccc}a\cos n\xi _{1}\\a\sin n\xi _{1}\\a\cos n\xi _{2}\\a\sin n\xi _{2}\end{array}}\right),}$

wobei ${\textstyle n=0,1,\ldots 7}$, ${\textstyle \xi _{1}=\pi /4=45^{\circ }}$, ${\textstyle \xi _{2}=3\pi /4=135^{\circ }}$ und ${\textstyle a=1/{\sqrt {2}}}$ sind. Der Wert von ${\displaystyle a}$ ist so gewählt, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Coxeter gibt außerdem die zu diesen Koordinaten gehörigen Kanten an.^[2.10]

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Orthogonalprojektion des 16-Zells in die ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$-Ebene, d. h. auf die ersten zwei der vier Koordinaten. Dabei werden die Ecken und Kanten des 16-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. Im Vergleich zur oben dargestellten Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung hat diese Projektion den Vorteil, dass die acht Ecken des 16-Zells auf unterschiedliche Punkte in der Ebene projiziert werden, genauer gesagt auf ein regelmäßiges Achteck. Das Achteck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 16-Zells. Ein weiteres Petrie-Polygon wird durch die Kanten, die den inneren Bereich ohne Kanten einhüllen, gebildet. In der Projektion erscheint dieses Petrie-Polygon als überschlagenes Achteck ${\textstyle \left\{{\frac {8}{3}}\right\}}$.

Diese Orthogonalprojektion des 16-Zells wurde erstmals von Salomon Levi van Oss gezeichnet.^[25.1]

Die oben angegebenen Ecken ${\textstyle \mathbf {x} _{n}}$ sind von Coxeter so konstruiert worden, dass sie ein Petrie-Polygon des 16-Zells bilden und dass jeweils vier aufeinanderfolgende Ecken ein Tetraeder definieren.^[26] Ein Tetraeder besteht aus drei Kanten der Schrittweite 1, zwei Kanten der Schrittweite zwei von der ersten zur dritten und der zweiten zur vierten Ecke und einer Kante der Schrittweite drei von der ersten zur vierten Ecke. Wenn die Indizes als zyklisch modulo 8 fortgesetzt interpretiert werden, ergibt sich hierdurch ein Ring von acht Tetraedern. Er stellt eine Boerdijk-Coxeter-Helix dar. Die Formeln für die Punkte ${\textstyle \mathbf {x} _{n}}$ lassen sich geometrisch so interpretieren, dass die ${\textstyle (x_{1},x_{2})}$-Koordinaten auf einem Kreis vom Radius ${\displaystyle a}$ in der ${\textstyle x_{1}x_{2}}$-Ebene liegen, der die Achse der Boerdijk-Coxeter-Helix bildet. Die ${\textstyle (x_{3},x_{4})}$-Koordinaten rotieren in der ${\textstyle x_{3}x_{4}}$-Ebene im Abstand ${\displaystyle a}$ um diesen Kreis.^[26] Die acht Punkte der Boerdijk-Coxeter-Helix liegen daher auf der Oberfläche eines Torus im vierdimensionalen Raum. Die acht Tetraeder bilden topologisch einen Volltorus.

Im nebenstehenden Video wird eine Boerdijk-Coxeter-Helix im 16-Zell visualisiert. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei auf der Umkugel des 16-Zells. Diese Projektionsart wurde verwendet, um sicherzustellen, dass die Tetraeder, die sich im ${\textstyle \mathbb {R} ^{4}}$ nicht überlappen, sich nicht gegenseitig aufgrund der Projektion durchdringen. Aufgrund der Projektion erscheinen die Tetraeder stark verzerrt und nicht mehr als regelmäßig, obwohl sie das im ${\textstyle \mathbb {R} ^{4}}$ sind. Die Helix rotiert während des gesamten Videos, um ihre Geometrie besser zu veranschaulichen. Am Anfang des Videos werden die Tetraeder der Helix durch ihre Seitenflächen visualisiert.

Nach einer Umdrehung werden die Kanten der Tetraeder langsam eingeblendet. Die Kanten der Schrittweite 1 (das Petrie-Polygon) werden cyanfarben dargestellt. Die Kanten der Schrittweite 2 werden magentafarben dargestellt. Die Kanten der Schrittweite 3 werden orangefarben dargestellt.

Nachdem die Kanten eingeblendet wurden, werden die Tetraeder langsam ausgeblendet. Da es schwierig zu sehen ist, wie die Tetraeder, die die Boerdijk-Coxeter-Helix formen, miteinander verbunden sind, werden sie in den nächsten zwei Umdrehungen einzeln nacheinander in der Reihenfolge, in der sie in der Helix auftreten, angezeigt. In der letzten Umdrehung wird die Helix nur noch durch die drei Arten von Kanten visualisiert.

Im 16-Zell existiert eine zweite Boerdijk-Coxeter-Helix. Sie geht aus der ersten durch die durch folgende Matrix beschriebene Drehung hervor:

${\displaystyle \mathbf {R} =\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right).}$

Dies zeigt, dass die beiden Boerdijk-Coxeter-Helices kongruent sind. Das 16-Zell kann aus ihnen zusammengesetzt werden.^[27] Dies ist analog dazu, dass sich die 3-Sphäre aus zwei kongruenten Volltori zusammensetzen lässt.^[28.1][29.1] Die beiden Boerdijk-Coxeter-Helices bilden miteinander eine Hopf-Verschlingung. Daher kann der Aufbau des 16-Zells aus den beiden Helices als eine diskrete Hopf-Faserung des 16-Zells aufgefasst werden.

Visualisierung der Konstruktion aus Boerdijk-Coxeter-Helices

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 16-Zells aus zwei Boerdijk-Coxeter-Helices. Es wird eine Zentralprojektion von einem Punkt auf der Umkugel des 16-Zells verwendet. Um möglichst gut zu veranschaulichen, dass die beiden Helices eine Hopf-Verschlingung bilden, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.^[28.2] Die Tetraeder werden in Richtung senkrecht zu den kreisförmigen Achsen der Boerdijk-Coxeter-Helices auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße.

Die beiden Boerdijk-Coxeter-Helices werden nacheinander transparent und in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie möglichst gut darzustellen. Trotz der oben beschriebenen Verkleinerung der Tetraeder durchdringt in der Projektion jeweils ein Tetraeder einer Helix die andere Helix. Dies liegt daran, dass im jeweiligen Tetraeder eine Kante der Schrittweite 3 enthalten ist, die sehr weit vom Projektionszentrum entfernt liegt. Diese weit entfernten Kanten werden sehr nahe an den Mittelpunkt der Projektion des 16-Zells abgebildet. Die Durchdringung ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum sind die Tetraeder disjunkt.

Zum Ende des Videos werden die beiden Boerdijk-Coxeter-Helices auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Dies visualisiert, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Um das 16-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert.

Charakteristisches Simplex des 16-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 16-Zells.^[33.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 16-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{3,3,4\}}$):^[2.14][2.15]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 16-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=45^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.16]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.17] Durch Anwendung aller 384 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 16-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Tetraeder besteht aus 24 charakteristischen Simplexen.

Darstellung der Quaternionengruppe und der Kleinschen Vierergruppe durch die Ecken des 16-Zells

Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen acht Ecken des 16-Zells können als Quaternionen interpretiert werden.^[34.1][35.1] Da die Koordinaten des 16-Zells auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen, stellen sie Einheitsquaternionen dar.

Die Ecken des 16-Zells stellen die Quaternionengruppe ${\displaystyle Q_{8}}$ dar. Sie ist eine der zwei nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8.^[34.2]

Im Folgenden wird eine Quaternion des 16-Zells mit ${\displaystyle q}$ und ihre Konjugation mit ${\displaystyle {\bar {q}}}$ bezeichnet. Ein Punkt des dreidimensionalen Raums kann als eine reine Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt werden. Die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ stellt eine Drehung im dreidimensionalen Raum dar.^[34.3] Die Darstellung ist nicht eindeutig: ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ stellen dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Die acht Quaternionen ${\displaystyle q}$ des 16-Zells stellen, als Rotationen interpretiert, eine Repräsentation der Kleinschen Vierergruppe^[36.1] und der zu ihr isomorphen Diedergruppe ${\displaystyle D_{2}}$ dar.^[35.1] Sie beschreiben beispielsweise die Rotationssymmetrien eines Quaders mit drei unterschiedlichen Seitenlängen. Da ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ dieselbe Abbildung darstellen, wird die Kleinsche Vierergruppe durch die Quaternionen zweifach überdeckt.

Die Kleinsche Vierergruppe ist eine Untergruppe der Drehungen der Tetraedergruppe.^[36.2] Dort stellt sie die Rotationen um 180° um die drei Achsen durch gegenüberliegende Kantenmitten des Tetraeders dar.^[34.4] Da die Tetraedergruppe eine Untergruppe der Oktaedergruppe ist, ist die Kleinsche Vierergruppe auch eine Untergruppe der Drehungen der Oktaedergruppe.^[36.3]

Darstellung der Symmetriegruppe des 16-Zells durch die Ecken von sechs 16-Zellen

Wie im Abschnitt Einbeschriebene Polytope beschrieben, lassen sich in ein 24-Zell drei 16-Zelle einbeschreiben. Die Koordinaten eines 24-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung sind gegeben durch:^[2.4]

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte) und
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte).

Wie aus dem Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten unmittelbar ersichtlich ist, stellt der erste Satz der obigen Koordinaten eines der drei einbeschriebenen 16-Zelle dar. Dieses wird im Folgenden mit ${\displaystyle V}$ bezeichnet. Die anderen beiden einbeschriebenen 16-Zelle ergeben sich durch Aufteilung des zweiten Satzes der obigen Koordinaten in zwei Untermengen: eine mit Koordinaten, die eine gerade Anzahl an Minuszeichen besitzen, und eine, die eine ungerade Anzahl an Minuszeichen besitzen.^[34.5] Diese beiden 16-Zelle werden im Folgenden mit ${\displaystyle V_{1}}$ und ${\displaystyle V_{2}}$ bezeichnet.

Das zum obigen 24-Zell duale 24-Zell in zellenzentrierter Koordinatenstellung hat folgende Koordinaten:^[2.4]

• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,\pm 1,0,0)^{\top }}$ (24 Punkte).

Auch in dieses 24-Zell lassen sich drei 16-Zelle einbeschreiben. Ihre Koordinaten und die im Folgenden verwendeten Bezeichnungen sind gegeben durch:^[34.6]

• ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,\pm 1,0,0)^{\top }}$ und ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (${\displaystyle V_{X}}$),
• ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,0,\pm 1,0)^{\top }}$ und ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,\pm 1,0,\pm 1)^{\top }}$ (${\displaystyle V_{Y}}$),
• ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,0,0,\pm 1)^{\top }}$ und ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,\pm 1,\pm 1,0)^{\top }}$ (${\displaystyle V_{Z}}$).

In die zwei dualen 24-Zelle lassen sich also insgesamt sechs 16-Zelle einbeschreiben. Ihre Koordinaten sind alle so konstruiert, dass sie auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Sie können daher als Einheitsquaternionen interpretiert werden.

Drehungen im vierdimensionalen Raum können durch zwei Einheitsquaternionen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ beschrieben werden. Wenn ein Punkt des vierdimensionalen Raums als Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt wird, ist eine Drehung von ${\displaystyle x}$ gegeben durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$.^[34.7] Analog dazu lassen sich vierdimensionale Drehspiegelungen darstellen durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$.^[34.8] In beiden Fällen stellen ${\displaystyle (p,q)}$ und ${\displaystyle (-p,-q)}$ dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Um die 192 Drehungen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]^{+}}$ des 16-Zells zu erhalten, können die Quaternionen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle {\bar {q}}}$ wie folgt aus den Ecken der oben definierten sechs 16-Zelle gewählt werden:^[34.9]

• ${\displaystyle x\mapsto VxV}$
• ${\displaystyle x\mapsto V_{1}xV_{2}}$
• ${\displaystyle x\mapsto V_{2}xV_{1}}$
• ${\displaystyle x\mapsto V_{X}xV_{X}}$
• ${\displaystyle x\mapsto V_{Y}xV_{Y}}$
• ${\displaystyle x\mapsto V_{Z}xV_{Z}}$

Dabei bedeutet beispielsweise ${\displaystyle V_{1}xV_{2}}$, dass die Quaternion ${\displaystyle p}$ als eine der Ecken des 16-Zells ${\displaystyle V_{1}}$ und die Quaternion ${\displaystyle {\bar {q}}}$ als eine der Ecken des 16-Zells ${\displaystyle V_{2}}$ gewählt wird. Jede der sechs Sätze an Transformationen enthält somit 64 Drehungen, von denen aufgrund der doppelten Überdeckung nur 32 unterschiedlich sind. Wenn zusätzlich der zu transformierende Punkt ${\displaystyle x}$ in den obigen Transformationen konjugiert wird (beispielsweise ${\displaystyle x\mapsto V_{1}{\bar {x}}V_{2}}$), ergeben sich alle 384 Transformationen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ jeweils zweimal.^[34.9] Die Symmetriegruppe des 16-Zells lässt sich daher durch die oben definierten Ecken der sechs in zwei duale 24-Zelle einbeschriebenen 16-Zelle ausdrücken.