24-Zell

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 24-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Hyperebenen, in denen die Oktaeder liegen. Die Ecken des 24-Zells sind gegeben durch:^{[5.7][6.7][2.4]}

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte) und
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte).

Die Ecken des dazu dualen 24-Zells haben folgende Koordinaten:^{[5.7][6.7][2.4]}

• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,\pm 1,0,0)^{\top }}$ (24 Punkte).

Die Koordinaten der Ecken wurden in beiden Fällen so normiert, dass sie auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Oktaeder haben damit eine Länge von ${\textstyle 1}$.

Insgesamt hat das 24-Zell daher 24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder.^{[5.7][6.7][2.5]}

Aus der ersten Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 24-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Ecken fünf Schichten bilden, die 1, 8, 6, 8, und 1 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen drei Schichten mit 6, 12 und 6 Oktaedern bilden.^[20.3]

Visualisierung der Konstruktion des 24-Zells

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 24-Zells aus den oben beschriebenen drei Schichten von Oktaedern. Dabei werden die Oktaeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei etwas außerhalb der Umkugel des 24-Zells.

Im ersten Teil des Videos werden die Oktaeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 24-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Oktaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Oktaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 24-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ist bei der letzten Schicht zu beachten. Die sechs Oktaeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt, der auf der Achse vom Projektionszentrum zum Mittelpunkt des 24-Zells liegt. Dieser Punkt wird durch die Projektion auf den Nullpunkt der Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die letzte Schicht scheinbar die anderen beiden Schichten durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Schicht disjunkt zu allen anderen Schichten.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell des 24-Zells, das dem Zustand nach Einblendung aller drei Schichten von Oktaedern entspricht. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Im Anschluss werden die Oktaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Oktaeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Oktaeder deren Anzahl dargestellt.

Die von Hand gezeichneten Abbildungen 7–9 in der Arbeit von Stringham^[9.2] entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 6 und 18 Oktaedern. Stringham beschreibt nur die ersten zwei Schichten explizit. In seiner Konstruktion wird das 24-Zell dadurch vervollständigt, dass es von innen nach außen gestülpt wird und der im inneren entstehende Hohlraum durch sechs weitere Oktaeder der ersten Schicht aufgefüllt wird.^[9.1]

Koordinatenstellungen des 24-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[20.4] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[20.5][21][22][23][24][2.6]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.6] Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 24-Zells.

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 24-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in die zweidimensionale Ebene. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in den meisten Fällen mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf rote Ecken werden jeweils eine Ecke und auf orangefarbene jeweils vier Ecken des 24-Zells projiziert. Aus der Abbildung sind die oben beschriebenen fünf Schichten von Ecken klar erkennbar. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 24-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 24-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.

Die Orthogonalprojektion eines 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in die zweidimensionale Ebene führt zu einer um 45° gedrehten, aber ansonsten identischen Projektion.

Die zweite und dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigen ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Aufgrund der Orthogonalprojektion werden 12 der 24 Ecken in Paaren von zwei auf dieselbe Ecke des Modells projiziert, so dass dieses 18 Ecken hat. Die vierte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 24-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Bei einer Projektion des 24-Zells in eine dreidimensionale Hyperebene unterscheidet sich die Projektion in zellenzentrierter Stellung von der in eckenzentrierter Stellung. Das umschließende Polyeder der Projektion in zellenzentrierter Stellung ist ein Kuboktaeder, das der Projektion in eckenzentrierter Stellung ist ein Rhombendodekaeder.

Die ersten im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten sind eckenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine kantenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\left({\begin{array}{cccc}3&-1&-1&-1\\1&3&-1&1\\1&1&3&-1\\1&-1&1&3\end{array}}\right).}$

Eine flächenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {6}}}\left({\begin{array}{cccc}2&-1&-1&0\\1&2&0&-1\\1&0&2&1\\0&1&-1&2\end{array}}\right).}$

Eine zellenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehmatrix^[20.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&1\\0&0&1&-1\\1&1&0&0\\1&-1&0&0\end{array}}\right).}$

Die zweiten im vorigen Abschnitt angegebenen Koordinaten des 24-Zells entstehen aus den ersten Koordinaten nicht nur durch Dualisierung, sondern auch durch die Anwendung der letzten Drehmatrix. Sie stellen daher das 24-Zell in zellenzentrierter Koordinatenstellung dar.

Visualisierung der Konstruktion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 24-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung. Aufgrund der Selbstdualität des 24-Zells ergeben sich fünf Schichten von Oktaedern, die den fünf Schichten von Punkten in der eckenzentrierten Koordinatenstellung entsprechen. Es wird eine Zentralprojektion von einem Punkt auf der Umkugel des 24-Zells verwendet. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Oktaeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Oktaeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Oktaeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 24-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Oktaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Oktaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 24-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Oktaeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die 23 zuvor eingeblendeten Oktaeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Oktaeder disjunkt zu allen übrigen.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 24-Zells nach Einblendung aller fünf Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 24-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 24-Zells dar.

Im Anschluss werden die Oktaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Der zweite Teil des Videos visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 24-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 24-Zell mit einem daraus entfernten Oktaeder aus, so dass die restlichen 23 Oktaeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Danach werden die Oktaeder schichtenweise entfernt. Schlegel verwendet allerdings eine andere Definition der Schichten, als die oben beschriebene: eine Schicht wird definiert als alle Oktaeder, die über eine Fläche, Kante oder Ecke mit einem Dreieck in der äußersten Schicht des Gebildes verbunden sind. Insgesamt ergeben sich zwei Schichten, die aus 14 und 9 Oktaedern bestehen. Die Schichten entsprechen daher im Video den Zeitpunkten, an denen 23 und 9 Oktaeder zu sehen sind.

Konstruktion des 24-Zells aus vier Oktaederringen

Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 24-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 24-Zells ergeben.^[2.7] Die Koordinatenstellung des 24-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 24-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Oktaeder.^[2.8] Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.^[2.9] Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.

Die von Coxeter angegebenen Koordinaten sind:^[2.7]

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left({\begin{array}{ccc}a\cos n\xi _{1}\\a\sin n\xi _{1}\\b\cos n\xi _{2}\\b\sin n\xi _{2}\end{array}}\right),\quad }$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+12}=\left({\begin{array}{ccc}b\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\b\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\a\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\\a\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\end{array}}\right),\quad }$

wobei ${\textstyle n=0,1,\ldots 11}$, ${\textstyle \xi _{1}=\pi /6=30^{\circ }}$, ${\textstyle \xi _{2}=5\pi /6=150^{\circ }}$, ${\textstyle a={\sqrt {(1+3^{-1/2})/2}}}$ und ${\textstyle b={\sqrt {(1-3^{-1/2})/2}}}$ sind. Im Vergleich zur Darstellung von Coxeter wurden in den obigen Formeln die Punkte anders indiziert, um die weiter unten angegebene Konstruktion leichter beschreiben zu können. Die Werte von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind so gewählt, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Coxeter gibt außerdem die zu diesen Koordinaten gehörigen Kanten und Zellen an.^[2.7]

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt die Orthogonalprojektion des 24-Zells in die ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$-Ebene, d. h. auf die ersten zwei der vier Koordinaten. Dabei werden die Ecken und Kanten des 24-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. Im Vergleich zur oben dargestellten Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung hat diese Projektion den Vorteil, dass die 24 Ecken des 24-Zells auf unterschiedliche Punkte in der Ebene projiziert werden, genauer gesagt auf zwei Zwölfecke, die auf konzentrischen Kreisen mit den Radien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ liegen. Die Zwölfecke entsprechen der obigen Unterteilung der Koordinaten in zwei Sätze zu je zwölf Koordinaten. Das äußere Zwölfeck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 24-Zells. Die inneren zwölf Ecken und die sie verbindenden zwölf Kanten, die den inneren Bereich ohne Kanten einhüllen, bilden ein überschlagenes Zwölfeck ${\textstyle \left\{{\frac {12}{5}}\right\}}$, das eine Projektion eines weiteren Petrie-Polygons darstellt.^[2.10]

Zwei der Oktaeder des 24-Zells sind durch folgende der oben definierten Ecken gegeben:^[2.10]

• ${\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{13},\mathbf {x} _{12}}$
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{12},\mathbf {x} _{17},\mathbf {x} _{22},\mathbf {x} _{15},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{3}}$.

Die restlichen Oktaeder ergeben sich durch Addition einer Konstanten zwischen 1 und 11 auf die Indizes der Punkte und zyklische Reduktion der Indizes auf den Wertebereich zwischen 0 und 11 für Indizes, deren Punkte auf dem äußeren Petrie-Polygon liegen (Index zwischen 0 und 11), und zwischen 12 und 23 für Indizes, die auf dem inneren Petrie-Polygon liegen (Index zwischen 12 und 23). Zwei der so definierten Oktaeder sind in der zweiten Abbildung in diesem Abschnitt dargestellt. Die weiteren Oktaeder ergeben sich aus diesen beiden durch Verschiebung entlang des Petrie-Polygons, was durch die oben beschriebene Addition der Indizes bewirkt wird. In der Projektion in die Coxeter-Ebene wird dadurch eine Rotation der projizierten Oktaeder um 30° um den Mittelpunkt der Projektion des 24-Zells bewirkt.

In einem Oktaeder, dessen Kanten drei Kanten des äußeren Petrie-Polygons enthalten, beispielsweise dem ersten Oktaeder in der obigen Liste, erscheinen in der Projektion in die Coxeter-Ebene zwei gleichseitige Dreiecke. Oktaeder, dessen Kanten drei Kanten des äußeren Petrie-Polygons enthalten, werden im Folgenden äußere Oktaeder genannt. Oktaeder, dessen Kanten drei Kanten des inneren Petrie-Polygons enthalten, werden im Folgenden innere Oktaeder genannt. Auch sie enthalten zwei gleichseitige Dreiecke in der Projektion in die Coxeter-Ebene. Die beiden gleichseitige Dreiecke werden im Folgenden gemäß ihrer Reihenfolge im Uhrzeigersinn linkes und rechtes gleichseitiges Dreieck genannt.

Wenn ein Oktaeder zwei Schritte weiter entlang des Petrie-Polygons betrachtet wird (in der Projektion beispielsweise 60° im Uhrzeigersinn gedreht), kann festgestellt werden, dass das rechte gleichseitige Dreieck des ersten Oktaeders mit dem linken gleichseitigen Dreieck des zweiten Oktaeders zur Deckung kommt. Dies ist nicht nur in der Projektion in die Coxeter-Ebene der Fall. Die zwei Oktaeder grenzen an diesem Dreieck im vierdimensionalen Raum aneinander.^[25.1] Diese Konstruktion kann analog fortgesetzt werden. Hierdurch ergibt sich ein Ring aus sechs Oktaedern, der topologisch einen Volltorus darstellt. Eine Zentralprojektion eines solchen Oktaederrings ist in der dritten und vierten Abbildung in diesem Abschnitt dargestellt. Aufgrund der Zentralprojektion erscheinen die Oktaeder perspektivisch verzerrt. Im vierdimensionalen Raum sind sie reguläre Oktaeder.

Die Konstruktion kann jeweils mit dem ersten oder zweiten inneren oder äußeren Oktaeder begonnen werden. Hierdurch ergeben sich insgesamt vier disjunkte Ringe aus jeweils sechs Oktaedern. Die Mittelpunkte der Oktaeder jedes Ringes liegen auf einem planaren Sechseck. Jedes Paar von Sechsecken bildet eine Hopf-Verschlingung.^[26.1] Entsprechend bilden die vier Oktaederringe paarweise Hopf-Verschlingungen. Der Aufbau des 24-Zells aus den vier Oktaederringen stellt daher eine diskrete Version der Hopf-Faserung dar.^[26.2]

Visualisierung der Konstruktion des 24-Zells aus vier Oktaederringen

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 24-Zells aus vier Oktaederringen. Das 24-Zell wird mit einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion von einem Punkt auf der Umkugel des 24-Zells projiziert. Die vier Ringe werden nacheinander in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um möglichst gut darzustellen, dass die Ringe miteinander Hopf-Verschlingungen bilden. Um die Struktur der Hopf-Faserung möglichst gut zu veranschaulichen, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.^[26.3] Die Oktaeder werden in Richtung senkrecht zu den sechseckigen Achsen der Oktaederringe auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße. Dadurch werden die gegenseitigen Hopf-Verschlingungen besser erkennbar. Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Ring: seine sechseckige Achse wird durch die Zentralprojektion auf eine Gerade projiziert. Daher erscheint dieser Ring als Säule. Da die Achse sehr nahe am Projektionszentrum verläuft, würden zwei der sechs Oktaeder durch die Projektion sehr stark verzerrt dargestellt und würden die anderen Ringe durchdringen. Diese zwei Oktaeder werden daher nicht visualisiert, so dass der Eindruck entsteht, der letzte Oktaederring wäre kein Ring. Dies ist aber nur ein Artefakt der gewählten Darstellung. Im vierdimensionalen Raum ist der letzte Ring, wie alle anderen, ein geschlossener Ring aus sechs Oktaedern, der mit allen anderen Ringen verschlungen ist. Zum Ende des Videos werden alle vier Oktaederringe auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Dies visualisiert, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Um das 24-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert.

Charakteristisches Simplex des 24-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,4,3]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 24-Zells.^[31.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 24-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{3,4,3\}}$):^[2.14][2.15]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 24-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=45^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.16]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,4,3]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,4,3]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.17] Durch Anwendung aller 1152 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 24-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Oktaeder besteht aus 48 charakteristischen Simplexen.

Darstellung der Tetraedergruppe durch die Ecken des 24-Zells

Die ersten im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen 24 Ecken des 24-Zells können als Quaternionen interpretiert werden.^[32.1][33.1] Da die Koordinaten des 24-Zells auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen, stellen sie Einheitsquaternionen dar. Im Folgenden wird eine Quaternion des 24-Zells mit ${\displaystyle q}$ und ihre Konjugation mit ${\displaystyle {\bar {q}}}$ bezeichnet. Ein Punkt des dreidimensionalen Raums kann als eine reine Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt werden. Die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ stellt eine Drehung im dreidimensionalen Raum dar und die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto q{\bar {x}}{\bar {q}}}$ eine Drehspiegelung.^[32.2] Die Darstellung ist nicht eindeutig: ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ stellen dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Die 24 Quaternionen ${\displaystyle q}$ des 24-Zells stellen eine Repräsentation der Tetraedergruppe ${\displaystyle [3,3]}$, auch ${\displaystyle A_{3}}$ genannt, dar. Sie beschreibt die Symmetrien des Tetraeders. Dabei wird angenommen, dass das Tetraeder in der üblichen Koordinatenstellung gegeben ist.^[32.3] Die Untergruppe ${\displaystyle [3,3]^{+}}$ der Drehungen wird von den Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ gebildet.^[32.1][34.1] Die gesamte Gruppe wird erhalten, wenn die Drehspiegelungen ${\displaystyle x\mapsto q{\bar {x}}{\bar {q}}}$ hinzugefügt werden. Hierbei müssen allerdings die Ecken ${\displaystyle q}$ des dualen 24-Zells verwendet werden. Da ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ dieselbe Abbildung darstellen, wird die Tetraedergruppe durch die Quaternionen zweifach überdeckt. Ihre Darstellung durch Quaternionen wird daher auch als binäre Tetraedergruppe bezeichnet.^[33.2]

Darstellung der Oktaedergruppe durch die Ecken von zwei dualen 24-Zellen

Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen 24 Ecken des 24-Zells und die 24 Ecken seines dualen 24-Zells können als Quaternionen interpretiert werden.^[32.1][33.1] Die Koordinaten der beiden dualen 24-Zelle stellen Einheitsquaternionen dar.

Die 48 Quaternionen ${\displaystyle q}$ der beiden dualen 24-Zelle stellen eine Repräsentation der Oktaedergruppe ${\displaystyle [3,4]}$, auch ${\displaystyle [4,3]}$ oder ${\displaystyle B_{3}}$ genannt, dar. Sie beschreibt die Symmetrien des Oktaeders und des Würfels. Dabei wird angenommen, dass das Oktaeder in der üblichen Koordinatenstellung gegeben ist (Ecken: alle Permutationen von ${\displaystyle (\pm 1,0,0)^{\top }}$)^[32.1] und der Würfel in der dazu dualen Lage (Ecken: ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$). Die Untergruppe ${\displaystyle [3,4]^{+}}$ der Drehungen wird von den Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ gebildet.^[32.1][34.1] Die gesamte Gruppe wird erhalten, wenn die Drehspiegelungen ${\displaystyle x\mapsto q{\bar {x}}{\bar {q}}}$ hinzugefügt werden.^[32.4] Da ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ dieselbe Abbildung darstellen, wird die Oktaedergruppe durch die Quaternionen zweifach überdeckt. Ihre Darstellung durch Quaternionen wird daher auch als binäre Oktaedergruppe bezeichnet.^[33.2]

Die Quaternionen, die die Drehungen der Tetraeder- und Oktaedergruppe darstellen, wurden erstmals 1866 von Arthur Cayley in einem Aufsatz über die Darstellung der Drehsymmetrien der platonischen Körper durch Quaternionen beschrieben.^[35] Washington Irving Stringham bestimmte 1881, ein Jahr nachdem er die regulären Polytope vorgestellt hatte, alle endlichen Quaternionengruppen, darunter auch die 24 Quaternionen der Drehungen der Tetraedergruppe und die 48 Quaternionen der Drehungen der Oktaedergruppe.^[36] Er schilderte aber nicht, dass diese die Ecken der beiden dualen 24-Zelle darstellen. Dies wurde erstmals 1916 von Ernst Steinitz beschrieben.^[37.1]

Darstellung der Symmetriegruppe des 24-Zells durch die Ecken von zwei dualen 24-Zellen

Drehungen im vierdimensionalen Raum können durch zwei Einheitsquaternionen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ beschrieben werden. Wenn ein Punkt des vierdimensionalen Raums als Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt wird, ist eine Drehung von ${\displaystyle x}$ gegeben durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$.^[32.5] Analog dazu lassen sich vierdimensionale Drehspiegelungen darstellen durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$.^[32.6] In beiden Fällen stellen ${\displaystyle (p,q)}$ und ${\displaystyle (-p,-q)}$ dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Wenn ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ aus den Ecken ein und desselben der beiden dualen 24-Zelle gewählt werden, ergeben sich mit der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$ alle 576 Drehungen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,4,3]^{+}}$ des 24-Zells, allerdings aufgrund der doppelten Überdeckung jeweils zweimal.^[32.4][37.1] Wird zusätzlich die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$ verwendet, ergeben sich alle 1152 Transformationen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,4,3]}$ jeweils zweimal.^{[32.4][37.1][33.3]}

Die Tatsache, dass die Ecken der beiden dualen 24-Zelle als Quaternionen interpretiert die Drehsymmetriegruppe des 24-Zells darstellen, wurde erstmals 1916 von Ernst Steinitz beschrieben.^[37.1]