5-Zell

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Das 5-Zell lässt sich als eine Hyperpyramide mit einem regulären Tetraeder als Basis konstruieren.^[2.4] Seine kartesischen Koordinaten sind gegeben durch:^[21.1]

• ${\textstyle {\frac {1}{4}}(-1,\pm {\sqrt {5}},\pm {\sqrt {5}},\pm {\sqrt {5}})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl an Minuszeichen in den letzten drei Koordinaten (4 Punkte) und
• ${\displaystyle (1,0,0,0)^{\top }}$ (1 Punkt).

Der erste Satz an Koordinaten stellt ein reguläres Tetraeder in der Hyperebene ${\textstyle x_{1}=-{\frac {1}{4}}}$ dar, also die tetraedrische Basis der Hyperpyramide. Der letzte Punkt ist seine Spitze. Die Koordinaten der Ecken liegen auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Die Kanten der Tetraeder haben damit eine Länge von ${\textstyle 5^{1/2}2^{-1/2}}$.^[21.1]

Die Zellen des 5-Zells sind gegeben durch alle fünf Untermengen von vier Ecken, seine Flächen durch alle zehn Untermengen von drei Ecken und seine Kanten durch alle zehn Untermengen von zwei Ecken.^[2.4] Insgesamt hat das 5-Zell daher 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder.^[5.3][6.3]

Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 5-Zells entlang einer Diagonale zwischen der fünften Ecke und dem Mittelpunkt der Zelle, die durch die ersten vier Ecken gebildet wird, zwei Schichten bilden, die 1 und 4 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang dieser Diagonalen zwei Schichten mit 4 und 1 Tetraedern bilden.^[20.3]

Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 5-Zells aus den oben beschriebenen zwei Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\displaystyle (-1,0,0,0)^{\top }}$ Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 5-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie die Tetraeder einer Schicht aneinander grenzen, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 5-Zells zu visualisieren.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Tetraeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die vier zuvor eingeblendeten Tetraeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Tetraeder disjunkt zu allen übrigen.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 5-Zells nach Einblendung der beiden Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 5-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 5-Zells dar.

Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 5-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 5-Zell mit einem daraus entfernten Tetraeder aus, so dass die restlichen vier Tetraeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 5-Zells explizit in der Abbildung 10 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem vier Tetraeder eingeblendet wurden.

Koordinatenstellungen des 5-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[20.4] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[20.5][22][23][24][25][2.5]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.5]

Das 5-Zell besitzt nicht die notwendigen Symmetrien, um es in eine reguläre Koordinatenstellung zu bringen. Weiterhin fallen bei ihm die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke und zum Mittelpunkt einer Zelle sowie die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zum Mittelpunkt einer Kante und zum Mittelpunkt einer Fläche zusammen.^[20.6] Nichtsdestotrotz wird in der Literatur oft von einer eckenzentrierten, kantenzentrierten, flächenzentrierten und zellenzentrierten Koordinatenstellung gesprochen. Hierzu ist ein Bezugssystem, beispielsweise eine Ebene oder Hyperebene, in die das 5-Zell projiziert wird, oder eine Hyperebene, mit der das 5-Zell geschnitten wird, notwendig. Mit der Koordinatenstellung wird ausgedrückt, dass der jeweilige Hauptstrahl senkrecht zum Bezugssystem ausgerichtet ist. Die Ausrichtung des 5-Zells in der Hyperebene senkrecht zum Hauptstrahl wird durch diese Konvention nicht festgelegt. Gemäß dieser Konvention zeigt das Video im vorherigen Abschnitt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 5-Zells.

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 5-Zells mit den oben angegebenen Koordinaten in ecken- und zellenzentrierter Koordinatenstellung in die ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-Ebene. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert, die projizierten Kanten durch schwarze Linien. Die Flächen und Zellen des 5-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt. Die äußeren vier Punkte stellen das Basistetraeder der Hyperpyramide dar, der mittlere Punkt deren Spitze.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 5-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Die Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung ist identisch zur Zentralprojektion; sie unterscheidet sich lediglich durch eine Skalierung. Daher ist das im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells abgebildete dreidimensionale Modell gleichzeitig auch ein Modell der Orthogonalprojektion des 5-Zells.

Charakteristisches Simplex des 5-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 5-Zells.^[29.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 5-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{3,3,3\}}$):^[2.8][2.9]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 5-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.10]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.11] Durch Anwendung aller 120 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 5-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Tetraeder besteht aus 24 charakteristischen Simplexen.

Darstellung der Symmetriegruppe des 5-Zells durch die Ecken eines 600-Zells

Wie im Artikel über das 600-Zell beschrieben, lassen sich dessen Ecken durch die folgenden Koordinaten darstellen:^[2.12][21.2]

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte),
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte) und
• alle geraden Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm \tau ,\pm 1,\pm \tau ^{-1},0)^{\top }}$ (96 Punkte).

Hierbei sind ${\textstyle \tau =({\sqrt {5}}+1)/2}$ und ${\textstyle \tau ^{-1}=({\sqrt {5}}-1)/2}$.^[2.13] Da die Koordinaten des 600-Zells auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen, können sie als Einheitsquaternionen interpretiert werden.

Drehungen im vierdimensionalen Raum können durch zwei Einheitsquaternionen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ beschrieben werden. Wenn ein Punkt des vierdimensionalen Raums als Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt wird, ist eine Drehung von ${\displaystyle x}$ gegeben durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$.^[21.3] Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\bar {q}}}$ die Konjugation von ${\displaystyle q}$. Analog dazu lassen sich vierdimensionale Drehspiegelungen darstellen durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$.^[21.4] In beiden Fällen stellen ${\displaystyle (p,q)}$ und ${\displaystyle (-p,-q)}$ dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Um die Symmetriegruppe des 5-Zells durch die Ecken eines 600-Zells darzustellen, ist eine weitere Operation auf Quaternionen notwendig: mit ${\displaystyle r^{\dagger }}$ wird die Operation bezeichnet, die in den obigen Koordinaten ${\displaystyle r}$ des 600-Zells das Vorzeichen von ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ändert. Dies bewirkt, dass in den 96 Ecken, die ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ beinhalten, ${\displaystyle \pm \tau }$ und ${\displaystyle \mp \tau ^{-1}}$ vertrauscht werden.^[21.5] Damit lassen sich die Drehungen in der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,3]^{+}}$ darstellen durch ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$, wobei ${\displaystyle p=r^{\dagger }}$, ${\displaystyle {\bar {q}}={\bar {r}}}$ und ${\displaystyle r}$ eine Ecke des 600-Zells sind.^[21.1]

Um die Drehspiegelungen der Gruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ darzustellen, wird die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$. verwendet. Hierbei sind ${\displaystyle p=r^{\dagger }s}$, ${\displaystyle {\bar {q}}={\overline {rs}}={\bar {s}}{\bar {r}}}$, ${\displaystyle r}$ eine Ecke des 600-Zells und ${\displaystyle s}$ eine beliebige Ecke des dualen 24-Zells, beispielsweise ${\textstyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1,0,0)^{\top }}$.^[21.6]

In der Konstruktion der Symmetriegruppe des 5-Zells wird angenommen, dass das 5-Zell durch die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen Koordinaten gegeben ist. Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ lässt sich damit durch die Ecken ${\displaystyle r}$ des 600-Zells beschreiben. Da ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle -r}$ dieselbe Drehung oder Drehspiegelung ergeben, wird die Gruppe ${\displaystyle [3,3,3]}$ durch die Ecken des 600-Zells zweifach überdeckt.