600-Zell

Konstruktion über vierdimensionale Kugelkoordinaten

Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 600-Zells und bestimmt dessen Anzahl von Zellen, Flächen, Kanten und Ecken zum einen über ein rein topologisches Argument basierend auf der von ihm zuvor bewiesenen Eigenschaft, dass die Eckfigur des 600-Zells ein Ikosaeder ist, dass also 20 Tetraeder an einer Ecke aneinander grenzen, und den daraus folgenden, über Kanten und Dreiecke bestimmten, Nachbarschaftsbeziehungen der Tetraeder. Er geht dabei von einer Ecke des 600-Zells aus und weist nach, dass die Ecken des 600-Zells neun Schichten entlang der Diagonale von der Ausgangsecke zur ihr gegenüberliegenden Ecke bilden, die sich wie folgt gruppieren: 1, 12, 20, 12, 30, 12, 20, 12, 1. Insgesamt hat das 600-Zell daher 120 Ecken, 720 Kanten, 1200 Dreiecke und 600 Tetraeder.^[5.7][6.7]

Zum anderen gibt Schläfli explizite Koordinaten der Eckpunkte des 600-Zells an.^[5.8][6.8] Er verwendet hierzu vierdimensionale Kugelkoordinaten ${\textstyle (\theta ,\phi ,\psi )}$, aus denen sich die 4D-Koordinaten der Ecken wie folgt berechnen lassen:

${\textstyle \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\cos \theta \\\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \cos \psi \\\sin \theta \sin \phi \sin \psi \end{array}}\right)}$

Die Ecken liegen daher alle auf einer 3-Sphäre vom Radius 1.

Die folgende Tabelle gibt die Kugelkoordinaten der Ecken an. Im Vergleich zu Schläflis Arbeit enthält sie eine Korrektur der Koordinaten in der Schicht e, die von Pieter Schoute angegeben wurde.^[20.3] Dabei sind ${\textstyle \alpha =\arccos(1/{\sqrt {5}})\approx 63^{\circ }26'5{,}8''}$, ${\displaystyle \beta =\arctan(3-{\sqrt {5}})\approx 37^{\circ }22'38{,}5''}$, ${\displaystyle \gamma =\arctan(3+{\sqrt {5}})\approx 79^{\circ }11'15{,}7''}$, ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,4\}}$ und ${\displaystyle l\in \{0,1,\ldots ,9\}}$.

Weitere Informationen , ...

Schicht	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle \psi }$	Anzahl Ecken	Anordnung der Ecken
a	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	1	Punkt
b	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	12	Ecken eines Ikosaeders
		${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$
c	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$	20	Ecken eines Dodekaeders
		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\gamma }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\beta }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
d	${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	12	Ecken eines Ikosaeders
		${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$
e	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$	30	Ecken eines Ikosidodekaeders
		${\displaystyle {\frac {\pi -\alpha }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(2l+1)\pi }{10}}}$
		${\displaystyle {\frac {\pi +\alpha }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -{\frac {\alpha }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
f	${\displaystyle {\frac {3\pi }{5}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	12	Ecken eines Ikosaeders
		${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$
g	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$	20	Ecken eines Dodekaeders
		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\gamma }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\beta }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
h	${\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	12	Ecken eines Ikosaeders
		${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\frac {2k\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle {\frac {(2k+1)\pi }{5}}}$
		${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$
i	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	1	Punkt

Schließen

Schläfli zeigt weiterhin, dass sich die Tetraeder des 600-Zells aus den Punkten der neun Schichten wie folgt bilden lassen: 20 Tetraeder aus den Schichten abbb, 20 aus bbbc, 30 aus bbcc, 60 aus bccd, 60 aus ccde, 60 aus cdee, 20 aus ceee, 60 aus deef, 20 aus eeeg, 60 aus eefg, 60 aus efgg, 60 aus fggh, 30 aus gghh, 20 aus ghhh und 20 aus hhhi. Dabei bedeutet beispielsweise bccd, dass ein Tetraeder aus einem Punkt der Schicht b, zwei Punkten der Schicht c und einem Punkt der Schicht d konstruiert wird. Insgesamt ergeben sich hierdurch 15 Schichten von insgesamt 600 Tetraedern, die die Zellen des 600-Zells darstellen.^[5.8][6.8] Die Tetraeder haben eine Kantenlänge von $({\sqrt {5}}-1)/2$. Identische schichtenweise Konstruktionen, allerdings ohne die Verwendung von Koordinaten, wurden von Washington Irving Stringham^[9.2] und Reinhold Hoppe^[11.2] angegeben.

Visualisierung der Konstruktion über vierdimensionale Kugelkoordinaten

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 600-Zells aus den oben beschriebenen 15 Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(-1,0,0,0)^{\top }}$. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{2}x_{3}x_{4}}$-Hyperebene.

Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 600-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 600-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ist bei der letzten Schicht zu beachten. Die 20 Tetraeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt in der Schicht i, die nur einen Punkt enthält. Da dieser das Projektionszentrum darstellt, würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der ${\textstyle x_{2}x_{3}x_{4}}$-Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die letzte Schicht scheinbar die anderen 14 Schichten durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Schicht disjunkt zu allen anderen Schichten.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 600-Zells nach Einblendung aller 15 Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 600-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt.

Die von Hand gezeichneten Abbildungen 10–15 in der Arbeit von Stringham^[9.2] entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 20, 40, 70, 130, 190 und 250 Tetraedern. Im Gegensatz zu Schläfli fasst Stringham, wie in den Abbildungen 16 und 17 seiner Arbeit dargestellt, die mittleren drei Schichten zu einer Hinzufügung von 20 aus jeweils zwei Tetraedern bestehenden dreiseitigen Doppelpyramiden und zwölf aus jeweils fünf Tetraedern bestehenden fünfseitigen Doppelpyramiden, insgesamt also 100 Tetraedern, zusammen.

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Die Ecken des 600-Zells lassen sich durch kartesische Koordinaten darstellen. Sie lauten in moderner Schreibweise:^[2.4]

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte),
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte) und
• alle geraden Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm \tau ,\pm 1,\pm \tau ^{-1},0)^{\top }}$ (96 Punkte).

Hierbei bezeichnet ${\textstyle \tau =({\sqrt {5}}+1)/2=2\cos(\pi /5)\approx 1{,}618034}$ den goldenen Schnitt.^[2.5] Wie bei der Konstruktion über Kugelkoordinaten liegen alle Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Diese Koordinaten wurden erstmals 1894 von Pieter Schoute angegeben, allerdings für eine 3-Sphäre vom Radius ${\textstyle \tau a}$, wobei ${\textstyle a}$ die Kantenlänge des 600-Zells bezeichnet.^[21.1] Die oben angegebene Version der Koordinaten mit Radius 1 wurde 1905 von Schoute angegeben.^[20.4][2.6] Im Aufsatz von 1894 listet Schoute weiterhin alle Kanten und Tetraeder des 600-Zells auf und konstruiert es somit explizit.^[21.2]

Koordinatenstellungen des 600-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[20.5] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[20.6][22][23][21][24][2.7]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.7] Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 600-Zells.

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in den meisten Fällen mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf rote Ecken werden jeweils eine Ecke, auf orangefarbene jeweils zwei und auf gelbe jeweils vier Ecken des 600-Zells projiziert. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 600-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 600-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt. An dieser Projektion lassen sich die im Abschnitt Konstruktion über vierdimensionale Kugelkoordinaten angegebenen neun Schichten von Punkten gut erkennen.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Die Blickrichtung entspricht der in der ersten Abbildung in diesem Abschnitt. Aufgrund der Orthogonalprojektion werden 90 der 120 Ecken in Paaren von zwei auf dieselbe Ecke des Modells projiziert, so dass dieses 75 Ecken hat. Die dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 600-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Die im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten sind eckenzentriert, wie aus dem ersten Satz an Koordinaten ersichtlich ist. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine kantenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:^[20.7]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\left({\begin{array}{cccc}2&{\sqrt {5}}-1&0&0\\1-{\sqrt {5}}&2&0&0\\0&0&2&{\sqrt {5}}-1\\0&0&1-{\sqrt {5}}&2\end{array}}\right).}$

Eine flächenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehmatrix^[20.7]

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}}\left({\begin{array}{cccc}3+{\sqrt {5}}&2&0&0\\-2&3+{\sqrt {5}}&0&0\\0&0&3+{\sqrt {5}}&2\\0&0&-2&3+{\sqrt {5}}\\\end{array}}\right).}$

Eine zellenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehmatrix^[20.7]

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}}\left({\begin{array}{cccc}2+{\sqrt {5}}&-1&-1&-1\\1&2+{\sqrt {5}}&1&-1\\1&-1&2+{\sqrt {5}}&1\\1&1&-1&2+{\sqrt {5}}\\\end{array}}\right).}$

Schoute hat für alle vier Koordinatenstellungen des 120-Zells deren Koordinaten vollständig aufgelistet.^[21.3] Die zellenzentrierten Koordinaten lassen sich wie folgt kompakt darstellen:^[2.8]

• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\tau ^{2},\tau ^{-1},\tau ^{-1},\tau ^{-1})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(\tau ,\tau ,\tau ,\tau ^{-2})^{\top }}$ mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte),
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {5}},1,1,1)^{\top }}$ mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (32 Punkte) und
• alle Permutationen von ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1,\pm 1,0,0)^{\top }}$ (24 Punkte).

Visualisierung der Konstruktion über kartesische Koordinaten

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 600-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung. Im Gegensatz zur eckenzentrierten Koordinatenstellung ergeben sich hierdurch, wie von Pieter Schoute angegeben, 45 statt 15 Schichten von Tetraedern.^[20.8] Es wird eine Zentralprojektion von einem Punkt, der etwas außerhalb des Tetraeders mit der größten negativen ${\displaystyle x_{1}}$-Koordinate liegt, verwendet. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 600-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 600-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Tetraeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die 599 zuvor eingeblendeten Tetraeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Tetraeder disjunkt zu allen übrigen.

Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Der zweite Teil des Videos visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 600-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 600-Zell mit einem daraus entfernten Tetraeder aus, so dass die restlichen 599 Tetraeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Danach werden die Tetraeder schichtenweise entfernt. Allerdings verwendet Schlegel eine andere Definition der Schichten als Schoute: eine Schicht wird definiert als alle Tetraeder, die über eine Fläche, Kante oder Ecke mit einem Dreieck in der äußersten Schicht des Gebildes verbunden sind. Insgesamt ergeben sich fünf Schichten, die aus 56, 164, 218, 144 und 17 Tetraedern bestehen. Die Schichten entsprechen daher im Video den Zeitpunkten, an denen 599, 543, 379, 161 und 17 Tetraeder zu sehen sind.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein Schlegeldiagramm des 600-Zells als dreidimensionales Modell. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Konstruktion aus Boerdijk-Coxeter-Helices

Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 600-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 600-Zells ergeben.^[2.9] Die Koordinatenstellung des 600-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 600-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Tetraeder.^[2.10] Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.^[2.11] Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.

Die von Coxeter angegebenen Koordinaten sind:^[2.9]

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left({\begin{array}{ccc}a\cos n\xi _{1}\\a\sin n\xi _{1}\\d\cos n\xi _{2}\\d\sin n\xi _{2}\end{array}}\right),\quad }$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+30}=\left({\begin{array}{ccc}b\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\b\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\c\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\\c\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\end{array}}\right),\quad }$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+60}=\left({\begin{array}{ccc}c\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\c\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{1}\\-b\cos(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\\-b\sin(n+{\frac {1}{2}})\xi _{2}\end{array}}\right),\quad }$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+90}=\left({\begin{array}{ccc}d\cos n\xi _{1}\\d\sin n\xi _{1}\\-a\cos n\xi _{2}\\-a\sin n\xi _{2}\end{array}}\right),}$

wobei ${\textstyle n=0,1,\ldots 29}$, ${\textstyle \xi _{1}=\pi /15=12^{\circ }}$, ${\textstyle \xi _{2}=11\pi /15=132^{\circ }}$, ${\textstyle a={\sqrt {(1+3^{-1/2}5^{-1/4}\tau ^{3/2})/2}}}$, ${\textstyle b={\sqrt {(1+3^{-1/2}5^{-1/4}\tau ^{-3/2})/2}}}$, ${\textstyle c={\sqrt {(1-3^{-1/2}5^{-1/4}\tau ^{-3/2})/2}}}$, ${\textstyle d={\sqrt {(1-3^{-1/2}5^{-1/4}\tau ^{3/2})/2}}}$ und, wie oben, ${\textstyle \tau =({\sqrt {5}}+1)/2}$ sind. Im Vergleich zur Darstellung von Coxeter wurden in den obigen Formeln die Punkte anders indiziert, um die weiter unten angegebene Konstruktion leichter beschreiben zu können. Die Werte von ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ sind so gewählt, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Coxeter gibt außerdem die zu diesen Koordinaten gehörigen Kanten und Zellen an.^[2.9]

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Orthogonalprojektion des 600-Zells in die ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$-Ebene, d. h. auf die ersten zwei der vier Koordinaten. Dabei werden die Ecken und Kanten des 600-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. Im Vergleich zur oben dargestellten Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung hat diese Projektion den Vorteil, dass die 120 Ecken des 600-Zells auf unterschiedliche Punkte in der Ebene projiziert werden, genauer gesagt auf vier Dreißigecke, die auf konzentrischen Kreisen mit den Radien ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ liegen. Die Dreißigecke entsprechen der obigen Unterteilung der Koordinaten in vier Sätze zu je 30 Koordinaten. Das äußere Dreißigeck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 600-Zells. Die inneren 30 Ecken und die sie verbindenden 30 Kanten, die den inneren Bereich ohne Kanten einhüllen, bilden ein überschlagenes Dreißigeck ${\textstyle \left\{{\frac {30}{11}}\right\}}$, das eine Projektion eines weiteren Petrie-Polygons darstellt.^[2.12]

Diese Orthogonalprojektion des 600-Zells wurde erstmals von Salomon Levi van Oss gezeichnet.^[25.1][2.12] Sie ist auch im Frontispiz des Buches Regular Polytopes von Coxeter abgedruckt.^[2.13]

Die oben angegebenen Punkte ${\textstyle \mathbf {x} _{n},n=0,1,\ldots ,29,}$ sind von Coxeter so konstruiert worden, dass sie ein Petrie-Polygon des 600-Zells bilden und dass jeweils vier aufeinanderfolgende Punkte ein Tetraeder definieren. Wenn die Indizes als zyklisch modulo 30 fortgesetzt interpretiert werden, ergibt sich hierdurch ein Ring von 30 Tetraedern. Er stellt eine Boerdijk-Coxeter-Helix dar (siehe die nebenstehende Abbildung und das nebenstehende dreidimensionale Modell). Die Formeln für die Punkte ${\textstyle \mathbf {x} _{n},n=0,1,\ldots ,29,}$ lassen sich geometrisch so interpretieren, dass die ${\textstyle (x_{1},x_{2})}$-Koordinaten auf einem Kreis vom Radius ${\displaystyle a}$ in der ${\textstyle x_{1}x_{2}}$-Ebene liegen, der die Achse der Boerdijk-Coxeter-Helix bildet. Die ${\textstyle (x_{3},x_{4})}$-Koordinaten rotieren in der ${\textstyle x_{3}x_{4}}$-Ebene im Abstand ${\displaystyle d}$ um diesen Kreis. Die 30 Punkte der Boerdijk-Coxeter-Helix liegen daher auf der Oberfläche eines Torus im vierdimensionalen Raum.^[26]

Das oben beschriebene Petrie-Polygon entsteht dadurch, dass die Punkte ${\textstyle \mathbf {x} _{n},n=0,1,\ldots ,29,}$ in Indexschritten von 1 miteinander verbunden werden. Wenn die Punkte in Indexschritten von 3 miteinander verbunden werden, ergeben sich hingegen drei planare Zehnecke. Aus ihnen lässt sich die Boerdijk-Coxeter-Helix ebenso wie aus dem Petrie-Polygon konstruieren. Die Konstruktion aus drei Zehnecken hat den Vorteil, dass sie sich auf alle 120 oben angegebenen Punkte des 600-Zells generalisieren lässt. Wenn die Ecken ${\textstyle \mathbf {x} _{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top },n=0,1,\ldots ,119,}$ in die durch

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2(x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4})\\2(x_{2}x_{3}-x_{1}x_{4})\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}\end{array}}\right)}$

definierte Hopf-Abbildung eingesetzt werden, werden jeweils zehn Ecken des 600-Zells in der 3-Spähre ${\textstyle S^{3}}$ auf einen Punkt der 2-Sphäre ${\textstyle S^{2}}$ abgebildet. Die Ecken ${\textstyle \mathbf {x} _{n}}$, die auf denselben Punkt abgebildet werden, sind durch die Indizes ${\textstyle n=30i+j+3k}$, ${\textstyle i=0,\ldots ,3}$, ${\textstyle j=0,1,2}$ und ${\textstyle k=0,\ldots ,9}$ gegeben. Die Variablen ${\textstyle i}$ und ${\textstyle j}$ bestimmen dabei die Menge der Ecken, die auf denselben Punkt abgebildet werden, und die Variable ${\textstyle k}$ die Ecke innerhalb der jeweiligen Menge.

Die 120 Ecken des 600-Zells werden auf die zwölf Ecken eines Ikosaeders abgebildet.^[27][28] Umgekehrt können die Urbilder der 12 Ecken des Ikosaeders als diskrete Hopf-Fasern angesehen werden.^[29][28] Da die Hopf-Abbildung Großkreise in ${\textstyle S^{3}}$ auf Punkte in ${\textstyle S^{2}}$ abbildet, bilden die Hopf-Fasern ein planares Zehneck, das ein Äquatorpolygon des 600-Zells darstellt. Jedes der zwölf Zehnecke bildet mit jedem anderen Zehneck eine Hopf-Verschlingung.

Aus den drei Hopf-Fasern der zu einem Dreieck des Ikosaeders gehörigen Ecken kann eine Boerdijk-Coxeter-Helix im 600-Zell konstruiert werden.^[27][29][28] Die oben beschriebene Boerdijk-Coxeter-Helix eintspricht beispielsweise den Zehnecken mit den Indizes ${\textstyle i=0}$ und ${\textstyle j=0,1,2}$ in der obigen Notation. Das 600-Zell kann daher aus 20 Boerdijk-Coxeter-Helices zusammengesetzt werden.^[29][28] Da die Zehnecke der Boerdijk-Coxeter-Helices polygonale Hopf-Verschlingungen bilden, sind alle Boerdijk-Coxeter-Helices gegenseitig miteinander verschlungen. Die 20 Boerdijk-Coxeter-Helices können daher als eine diskrete Hopf-Faserung des 600-Zells aufgefasst werden.

Visualisierung der Konstruktion aus Boerdijk-Coxeter-Helices

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 600-Zells aus 20 Boerdijk-Coxeter-Helices. Es wird eine Zentralprojektion mit Projektionszentrum ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$ verwendet. Um möglichst gut zu veranschaulichen, dass die 20 Helices alle gegenseitig miteinander Hopf-Verschlingungen bilden, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.^[30.1] Die Tetraeder werden in Richtung senkrecht zu den kreisförmigen Achsen der Boerdijk-Coxeter-Helices auf zehn Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße.

Die Boerdijk-Coxeter-Helices werden nacheinander transparent und in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie möglichst gut darzustellen. Nachdem zehn Helices eingeblendet wurden, werden sie auf ihre tatsächliche Größe vergrößert. Dies visualisiert zum einen, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Zum anderen wird hierdurch veranschaulicht, dass sie eine Hälfte des 600-Zells bilden, die topologisch einen Volltorus darstellt, dessen Oberfläche leicht nach innen und außen gefaltet ist. Die zweite Hälfte des 600-Zells besteht aus den restlichen zehn Boerdijk-Coxeter-Helices. Sie bilden im vierdimensionalen Raum einen zur ersten Hälfte des 600-Zells kongruenten Volltorus.^[27] Dies ist analog dazu, dass sich die 3-Sphäre aus zwei kongruenten Volltori zusammensetzen lässt.^[30.2][31.1] Im Anschluss werden die Helices wieder auf zehn Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. Danach werden die restlichen zehn Boerdijk-Coxeter-Helices eingeblendet. Eine Besonderheit ergibt sich bei der letzten Helix: ihre kreisförmige Achse wird durch die Zentralprojektion auf eine Gerade projiziert. Daher erscheint diese Helix als Säule. Da die Achse sehr nahe am Projektionszentrum verläuft, würden fünf der 30 Tetraeder durch die Projektion sehr stark verzerrt dargestellt und würden teilweise die anderen Helices durchdringen. Diese fünf Tetraeder werden daher nicht visualisiert, so dass der Eindruck entsteht, die letzte Helix wäre kein Ring. Dies ist aber nur ein Artefakt der gewählten Darstellung. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Helix, wie alle anderen, ein geschlossener Ring aus 30 Tetraedern, der mit allen anderen Helices verschlungen ist. Zum Ende des Videos werden alle 20 Boerdijk-Coxeter-Helices auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Um das 600-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert.

Charakteristisches Simplex des 600-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 600-Zells.^[36.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 600-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{3,3,5\}}$):^[2.17][2.18]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 600-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=36^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Flächen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.19]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.20] Durch Anwendung aller 14.400 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 600-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jedes seiner Tetraeder besteht aus 24 charakteristischen Simplexen.^[35.2]

Darstellung der Ikosaedergruppe durch Ecken des 600-Zells

Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten beschriebenen 120 Ecken des 600-Zells können als Quaternionen interpretiert werden.^[37.1][38.1] Da die Koordinaten des 600-Zells auf der 3-Sphäre vom Radius 1 liegen, stellen sie Einheitsquaternionen dar. Im Folgenden wird eine Quaternion des 600-Zells mit ${\displaystyle q}$ und ihre Konjugation mit ${\displaystyle {\bar {q}}}$ bezeichnet. Ein Punkt des dreidimensionalen Raums kann als eine reine Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt werden. Die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ stellt eine Drehung im dreidimensionalen Raum dar und die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto q{\bar {x}}{\bar {q}}}$ eine Drehspiegelung.^[37.2] Die Darstellung ist nicht eindeutig: ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ stellen dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Die 120 Quaternionen ${\displaystyle q}$ des 600-Zells stellen eine Repräsentation der Ikosaedergruppe ${\displaystyle [3,5]}$, auch ${\displaystyle [5,3]}$ oder ${\displaystyle H_{3}}$ genannt, dar. Sie beschreibt die Symmetrien des Ikosaeders und des Dodekaeders. Dabei wird angenommen, dass das Ikosaeder in der üblichen kartesischen Koordinatenstellung gegeben ist^[37.3] und das Dodekaeder in der dazu dualen Lage. Die Untergruppe ${\displaystyle [3,5]^{+}}$ der Drehungen wird von den Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto qx{\bar {q}}}$ gebildet.^{[37.1][39.1][40.1]} Die gesamte Gruppe wird erhalten, wenn die Drehspiegelungen ${\displaystyle x\mapsto q{\bar {x}}{\bar {q}}}$ hinzugefügt werden.^[37.4] Da ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle -q}$ dieselbe Abbildung darstellen, wird die Ikosaedergruppe durch die Quaternionen zweifach überdeckt. Ihre Darstellung durch Quaternionen wird daher auch als binäre Ikosaedergruppe bezeichnet.^[38.2] Durch die doppelte Überdeckung besitzt die binäre Ikosaedergruppe mit 120 Elementen doppelt so viele Gruppenelemente wie die Ikosaedergruppe.

Die Quaternionen, die die Drehungen der Ikosaedergruppe darstellen, wurden erstmals 1866 von Arthur Cayley in einem Aufsatz über die Darstellung der Drehsymmetrien der platonischen Körper durch Quaternionen beschrieben.^[41] Washington Irving Stringham bestimmte 1881, ein Jahr nachdem er die regulären Polytope vorgestellt hatte, alle endlichen Quaternionengruppen, darunter auch die 120 Quaternionen der Drehungen der Ikosaedergruppe.^[42] Er schilderte aber nicht, dass diese die Ecken des 600-Zells darstellen. Dies wurde erstmals 1916 von Ernst Steinitz beschrieben.^[43.1][44.1] William Threlfall zeigte 1932, dass die Ecken und Kanten des 600-Zells ein Dehnsches Gruppenbild der Ikosaedergruppe darstellen.^[45][44.2]

Darstellung der Symmetriegruppe des 600-Zells durch seine Ecken

Drehungen im vierdimensionalen Raum können durch zwei Einheitsquaternionen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ beschrieben werden. Wenn ein Punkt des vierdimensionalen Raums als Quaternion ${\displaystyle x}$ dargestellt wird, ist eine Drehung von ${\displaystyle x}$ gegeben durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$.^[37.5] Analog dazu lassen sich vierdimensionale Drehspiegelungen darstellen durch die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$.^[37.6] In beiden Fällen stellen ${\displaystyle (p,q)}$ und ${\displaystyle (-p,-q)}$ dieselbe Drehung bzw. Drehspiegelung dar.

Wenn ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ aus den Ecken des 600-Zells gewählt werden, ergeben sich mit der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto px{\bar {q}}}$ alle 7200 Drehungen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]^{+}}$ des 600-Zells und 120-Zells, allerdings aufgrund der doppelten Überdeckung jeweils zweimal.^[37.4][39.2] Wird zusätzlich die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto p{\bar {x}}{\bar {q}}}$ verwendet, ergeben sich alle 14.400 Transformationen der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]}$ jeweils zweimal.^{[37.4][40.2][38.3]} Die Ecken des 600-Zells stellen daher nicht nur seine Geometrie dar, sondern beschreiben gleichzeitig seine Symmetrien.

Die Tatsache, dass die Ecken des 600-Zells als Quaternionen interpretiert seine eigene Drehsymmetriegruppe darstellen, wurde erstmals 1916 von Ernst Steinitz beschrieben.^[43.1]

Darstellung der Symmetriegruppe des 5-Zells durch die Ecken eines 600-Zells

Die Ecken des 600-Zells beschreiben als Quaternionen interpretiert auch die Symmetrien des 5-Zells. Dies ist im Artikel über das 5-Zell genauer beschrieben.