Aryabhatiya

Der indische Mathematiker Aryabhata I. hat das Buch Aryabhatiya in Sanskrit verfasst und in vier Abschnitte (padas) unterteilt. Es systematisiert die Ergebnisse älterer Siddhantas und umfasst insgesamt 121 Strophen in einem für solche Werke in Indien typischen mnemonischen Schreibstil in Form eines Aphorismus verfasst.^[3.1]

1. Gītīkāpāḍaṃ inkl. Dasagitaka (13 Strophen) über große Zeiteinheiten – Kalpa, Manvantara und Yuga –, die eine andere Kosmologie darstellen als frühere Texte wie Lagadhas Vedanga Jyotisha (ca. 1. Jahrhundert v. Chr.). Es gibt auch eine Tabelle mit Sinuswerten (jya) in einer einzigen Strophe. Die Dauer der Planetenumläufe während eines Maha-Yuga („lange Periode“) wird mit 4,32 Millionen Jahren angegeben, wobei dieselbe Methode wie im Surya Siddhanta (astronomisches Lehrbuch zum hinduistischen Lunisolarkalender) verwendet wird.^[4]
2. Ganitapada (33 Strophen) über Messungen (kṣetra vyāvahāra), arithmetische und geometrische Reihen, Gnomon (Schattenstab für Sonnenuhren) (shanku-chhAyA) sowie einfache, quadratische, simultane und unbestimmte Gleichungen (Kuṭṭaka, Verfahren zur Lösung linearer Diophantischer Gleichungen).
3. Kalakriyapada (25 Strophen) über verschiedene Zeiteinheiten und eine Methode zur Bestimmung der Positionen der Planeten für einen bestimmten Tag, Berechnungen zum Schaltmonat (adhika-masa), Mondtagen (kShaya-tithis) und eine Sieben-Tage-Woche mit Namen für die Wochentage.
4. Golapada (50 Strophen) über geometrische/trigonometrische Aspekte der Himmelskugel, Merkmale der Ekliptik, des Himmelsäquators, der Form der Erde, Ursache von Tag und Nacht, Aufgang der Tierkreiszeichen am Horizont usw. Darüber hinaus zitieren einige Versionen am Ende einige Kolophone, in denen die Vorzüge des Werks gepriesen werden usw.

Es ist sehr wahrscheinlich, dass das Studium von Aryabhatiya von einem versierten Lehrer begleitet werden sollte. Während einige Strophen einen logischen Ablauf haben, ist dies bei anderen nicht der Fall, und ihre ungewohnte Struktur kann es einem gelegentlichen Leser erschweren, ihnen zu folgen.

Indische mathematische Werke benutzten vor Aryabhata oft Wortzahlen, aber Aryabhatiya ist das älteste erhaltene indische Werk mit Devanagari-Zahlen. In seiner Zahlschrift (Aryabatha-Code) verwendete er Buchstaben des Devanagari-Alphabets, um Zahlwörter zu bilden, wobei Konsonanten die Ziffer und Vokale den Stellenwert bezeichnen. Diese Neuerung erleichterte fortgeschrittene arithmetische Berechnungen erheblich. Gleichzeitig erlaubte dieses Zahlensystem sogar bei der Benennung der Zahlen durch den Autor poetische Freiheit.

Aryabhatiya besteht aus vier Abschnitten oder Adhyāyās. Der erste Abschnitt heißt Gītīkāpāḍaṃ und enthält 13 Shlokas (Strophen). Aryabhatiya beginnt mit einer Einleitung namens „Dasagitaka“ oder „Zehn Strophen“.^[3.1] Diese beginnt mit einer Hommage an Brahman, den „kosmischen Geist“ im Hinduismus. Als Nächstes legte Aryabhata das in seinem Werk verwendete Zahlensystem, den Aryabatha-Code, dar. Es enthält eine Auflistung astronomischer Konstanten und die Sehnentabelle (siehe unten) für 24 Intervalle des rechten Winkels.^[5] Anschließend gibt er einen Überblick über seine astronomischen Erkenntnisse.

Der größte Teil der Mathematik ist im nächsten Abschnitt, dem „Ganitapada“ oder „Mathematik“, enthalten.

Danach folgt der Abschnitt „Kalakriyapada“ oder „Die Zeitrechnung“. Darin unterteilt Aryabhata Tage, Monate^[6] und Jahre entsprechend der Bewegung der Himmelskörper. Er unterteilt die Geschichte nach astronomischen Ereignissen; aus dieser Darstellung wurde das Jahr 499 n. Chr. für die Entstehung von Aryabhatiya berechnet.^[7] Das Buch enthält auch Regeln für die Berechnung der Längengrade von Planeten unter Verwendung von Exzentrizität und Epizyklen.

Im letzten Abschnitt, „Gola“ oder „Die Sphäre“, beschreibt Aryabhata ausführlich die himmlische Beziehung zwischen der Erde und dem Kosmos. Dieser Abschnitt ist bekannt für seine Beschreibung der Rotation der Erde um ihre eigene Achse. Er verwendet außerdem die Armillarsphäre und beschreibt detailliert Regeln in Bezug auf Probleme der Trigonometrie und die Berechnung von Sonnenfinsternissen.

Halbsehnentabelle

Aryabhatas Halbsehnentabelle^[8] in Strophe 12 des Kapitels Dasagitaka enthält 24 Werte zur Länge der halben Kreissehne für einen rechten Winkel in einer Genauigkeit von drei bis vier Stellen.^[9][10] Sie ist keine Reihe von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.^[11][12] Sie ist auch keine Reihe von Werten der daraus direkt ableitbaren trigonometrischen Sinusfunktion im herkömmlichen Sinne, sondern enthält die ersten Differenzen ihrer Werte in Bogenminuten, weshalb sie auch als „Aryabhaṭas Tabelle der Sinusdifferenzen“ bezeichnet wird.^[13][14] Die als Sanskrit-Verse kodierten Werte können anhand des ebenfalls in Aryabhaṭiya erläuterten Aryabhata-Code entschlüsselt werden, der die Zahlen und ihren Stellenwert durch Vokale und Konsonanten beschreibt:

„मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व।
घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झशंव क्ल प्त फ छ कला-अर्ध-ज्यास् ॥“

„makhi bhakhi phakhi dhakhi ṇakhi ñakhi |
ṅakhi hasjha skaki kiṣga śghakhi kighva ||“

„Die [24] Halbsehnen in Bogenminuten sind 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205 ... 22, 7.“

– Aryabhata^[15]

Aryabhatas Verse beschrieben die erste Halbsehnentabelle in der Geschichte der Mathematik.^[16] Die heute verlorenen Werke von Hipparchos von Nicäa (ca. 190 v. Chr. – ca. 120 v. Chr.) und Menelaos (ca. 70–140 n. Chr.) sowie die Sehnentabelle von Ptolemäus (ca. 90 n. Chr. – ca. 168 n. Chr.) waren Tabellen von Sehnen und nicht von Halbsehnen.^[17] Die Genauigkeit der Werte wurde erst durch die Entdeckung der Potenzreihen der Sinusfunktion durch Madhava von Sangamagrama (1350 – 1425), dem Begründer der Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik, mit sieben oder acht gültigen Nachkommastellen verbessert.

Die relevanten Winkel sind (in Schritten von 3° 45') in der zweiten Spalte der Tabelle aufgeführt. Die dritte Spalte enthält die Liste der Zahlen aus den oben erwähnten Sanskrit-Versen in Devanagari-Schrift (in der vierten Spalte in ISO-15919-Transliteration). Die nächste Spalte enthält diese Zahlen in der üblichen Schreibweise als arabischen Ziffern. Aryabhaṭas Zahlen sind die Differenzen der Sehnenwerte. Der entsprechende Wert der Sehne (oder genauer gesagt des jya) kann durch Addition der Differenzen bis zu diesem Winkel ermittelt werden. Somit ist der Wert von jya, der 18° 45′ entspricht, die Summe 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Um die Genauigkeit von Aryabhaṭas Berechnungen zu beurteilen, sind die modernen Werte von jyas in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.

Aryabhata hat die Länge der Halbsehne für einen Grundkreis mit einem Radius von 3438 berechnet. Der Grund für die Wahl dieses Parameters ist die Idee, den Umfang eines Kreises in Winkelmaßen zu messen. In dieser Maßeinheit beträgt der Umfang eines Kreises 360° = (60 × 360) Minuten = 21.600 Minuten. Der Radius des Kreises, dessen Umfang 21.600 Minuten beträgt, ist 21.600 / 2π Minuten. Berechnet man dies mit dem Aryabhata bekannten Wert π = 3,1416, erhält man einen Radius des Kreises von ungefähr 3438 Minuten.^[18]

Weitere Informationen Sl. No, Winkel ( A ) (in Bogenminuten) ...

Sl. No	Winkel ( A ) (in Bogenminuten)	Wert in Aryabhatas Notation (Devanagari)	Wert (in ISO-15919-Transliteration)	Wert in arabischen Ziffern	Aryabhaṭas Wert in jya (A)	Moderner Wert in jya (A) (3438 × sin (A))
1	03°   45′	मखि	makhi	225	225′	224.8560
2	07°   30′	भखि	bhakhi	224	449′	448.7490
3	11°   15′	फखि	phakhi	222	671′	670.7205
4	15°   00′	धखि	dhakhi	219	890′	889.8199
5	18°   45′	णखि	ṇakhi	215	1105′	1105.1089
6	22°   30′	ञखि	ñakhi	210	1315′	1315.6656
7	26°   15′	ङखि	ṅakhi	205	1520′	1520.5885
8	30°   00′	हस्झ	hasjha	199	1719′	1719.0000
9	33°   45′	स्ककि	skaki	191	1910′	1910.0505
10	37°   30′	किष्ग	kiṣga	183	2093′	2092.9218
11	41°   15′	श्घकि	śghaki	174	2267′	2266.8309
12	45°   00′	किघ्व	kighva	164	2431′	2431.0331
13	48°   45′	घ्लकि	ghlaki	154	2585′	2584.8253
14	52°   30′	किग्र	kigra	143	2728′	2727.5488
15	56°   15′	हक्य	hakya	131	2859′	2858.5925
16	60°   00′	धकि	dhaki	119	2978′	2977.3953
17	63°   45′	किच	kica	106	3084′	3083.4485
18	67°   30′	स्ग	sga	93	3177′	3176.2978
19	71°   15′	झश	jhaśa	79	3256′	3255.5458
20	75°   00′	ङ्व	ṅva	65	3321′	3320.8530
21	78°   45′	क्ल	kla	51	3372′	3371.9398
22	82°   30′	प्त	pta	37	3409′	3408.5874
23	86°   15′	फ	pha	22	3431′	3430.6390
24	90°   00′	छ	cha	7	3438′	3438.0000

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Einige Mathematikhistoriker argumentierten, dass die in Aryabhatiya angegebene Sehnentabelle eine Adaption früherer Tabellen von Mathematikern und Astronomen des antiken Griechenlands.^[19] David Pingree vertrat diese Ansicht. Unter der Annahme dieser Hypothese schreibt G. J. Toomer:^[20][21] „Es gibt kaum Unterlagen über die früheste Ankunft griechischer astronomischer Modelle in Indien oder darüber, wie diese Modelle ausgesehen haben könnten. Daher ist es sehr schwierig festzustellen, inwieweit das, was uns überliefert wurde, übermitteltes Wissen darstellt und was von indischen Wissenschaftlern stammt. … Die Wahrheit ist wahrscheinlich eine verworrene Mischung aus beidem.“^[22]

Im 14. Jahrhundert stellte der indische Mathematiker Madhava, ebenfalls auf Sanskrit und in Versform, auf Basis einer Reihenentwicklung eine Sehnentabelle mit höherer Genauigkeit auf.^[23]

Für die Entstehung des Werks wird oft auch das Jahr 499 n. Chr. genannt, weil Aryabhata in Kalakriyapada sein Geburtsjahr 476 (Jahr 3600 des Kali-Yuga) und sein Alter mit 23 Jahren angibt.^[24] Roger Billard zeigte jedoch mittels der sieben Planetenlängen, dass diese für ca. 510 n. Chr. am besten zu den im Werk dargestellten astronomischen Verhältnissen passen.^[25][26]

Die Abhandlung verwendet ein geozentrisches Modell des Sonnensystems, in dem Sonne und Mond jeweils von Epizyklen getragen werden, die sich um die Erde drehen. In diesem Modell, das auch im Paitāmahasiddhānta (ca. 425 n. Chr.) zu finden ist, werden die Bewegungen der Planeten jeweils von zwei Epizyklen bestimmt, einem kleineren manda (langsamen) Epizyklus und einem größeren śīghra (schnellen) Epizyklus.^[27]

Einige Kommentatoren, insbesondere B. L. van der Waerden, vermuteten, dass bestimmte Aspekte von Aryabhatas geozentrischem Modell auf den Einfluss eines zugrunde liegenden heliozentrischen Modells hindeuten.^[28][29][30] Diese Ansicht wurde von anderen widerlegt und insbesondere von Noel Swerdlow scharf kritisiert, der sie als direkten Widerspruch zum Text bezeichnete.^[31][32]

Trotz des geozentrischen Ansatzes des Werks enthält Aryabhatiya viele Ideen, die für die moderne Astronomie und Mathematik von grundlegender Bedeutung sind. Aryabhata behauptete, dass der Mond, die Planeten und die Sternbilder durch reflektiertes Sonnenlicht leuchten,^[33][34] erklärte korrekt die Ursachen von Sonnen- und Mondfinsternissen und berechnete Werte für die Kreiszahl π und die Länge des siderischen Jahrs, die den heute bekannten Werten sehr nahe kommen.

Sein Wert für die Länge des siderischen Jahrs von 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 30 Sekunden ist nur 3 Minuten und 20 Sekunden länger als der moderne wissenschaftliche Wert (365 Tagen, 6 Stunden, 9 Minuten und 10 Sekunden). Seine genaue Annäherung an π lautete:

„Addieren Sie vier zu hundert, multiplizieren Sie mit acht und addieren Sie dann zweiundsechzigtausend. Das Ergebnis ist ungefähr der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von zwanzigtausend. Nach dieser Regel ergibt sich das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.“

Mit anderen Worten: π ≈ 62832/20000 = 3,1416, gerundet auf vier Dezimalstellen. Aryabhata erklärte nicht, wie er darauf kam.^[5]

In diesem Buch wurde der Tag von einem Sonnenaufgang zum nächsten berechnet, während er in seinem „Āryabhata-siddhānta“ den Tag von einer Mitternacht zur nächsten nahm. Auch bei einigen astronomischen Parametern gab es Unterschiede.

Neben einigen anonymen Kommentaren sind die Kommentare der folgenden 12 Autoren zu Aryabhatiya bekannt:^[35]

• In Sanskrit:
  • Prabhakara (ca. 525)
  • Bhaskara I. (ca. 629)
  • Someshvara (ca. 1040)
  • Surya-deva (geb. 1191), Bhata-prakasha
  • Parameshvara (ca. 1380–1460), Bhata-dipika oder Bhata-pradipika
  • Nila-kantha (ca. 1444–1545)
  • Yallaya (ca. 1482)
  • Raghu-natha (ca. 1590)
  • Ghati-gopa
  • Bhuti-vishnu
• In Telugu:
  • Virupaksha Suri
  • Kodanda-rama (ca. 1854)

Die Schätzung des Durchmessers der Erde in Tarkīb al-aflāk von Yaqūb ibn Tāriq, die 2.100 Farsak beträgt, scheint von der Schätzung des Durchmessers der Erde in Aryabhatiya abgeleitet zu sein, die 1.581 1/24 Yojana (24.835 Meilen) beträgt.^[5][36]

Das Werk wurde von einem anonymen Autor unter dem Titel Zij al-Arjabhar um 800 erstmals ins Arabische übersetzt.^[35] Um 820 übersetzte es Al-Chwarizmi erneut ins Arabische und beeinflusste mit seinem Werk Über die Berechnung mit hinduistischen Ziffern die Einführung des indisch-arabischen Zahlensystems in Europa ab dem 12. Jahrhundert.

Aryabhatas Methoden der astronomischen Berechnungen werden seit jeher für praktische Zwecke zur Festlegung des Panchangam (hinduistischer Lunisolarkalender) verwendet.

O’Connor und Robertson stellten fest:^[5] „Aryabhata gibt Formeln für die Flächen eines Dreiecks und eines Kreises an, die korrekt sind, aber die Formeln für die Volumina einer Kugel und einer Pyramide werden von den meisten Historikern als falsch angesehen.“ Beispielsweise beschreibt Ganitanand, dass Aryabhata die falsche Formel V = Ah/2 (anstelle von V=Ah/3) für das Volumen einer Pyramide mit der Höhe h und einer dreieckigen Grundfläche A angibt, als „mathematische Fehler“.^[37] Er scheint auch eine falsche Formel für das Volumen einer Kugel anzugeben. Kurt Elfering argumentiert, dass es sich hierbei nicht um einen Fehler handelt, sondern vielmehr um das Ergebnis einer falschen Übersetzung. Dies bezieht sich auf die Strophen 6, 7 und 10 des zweiten Abschnitts von Aryabhatiya. Elfering liefert eine Übersetzung, die sowohl für das Volumen einer Pyramide als auch für eine Kugel das richtige Ergebnis bringt.^[38][39] Allerdings übersetzt er zwei Fachbegriffe anders als in ihrer üblichen Bedeutung.

• Brahmi-Zahlschrift
• Indische Astronomie

• William J. Gongol: The Aryabhatiya: Foundations of Indian Mathematics. University of Northern Iowa, 14. Dezember 2003, archiviert vom Original am 12. November 2025; abgerufen am 7. Januar 2026 (englisch).
• Hugh Thurston: The Astronomy of Āryabhata. In: Early Astronomy. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94822-8, S. 178–189 (englisch).
• Kurt Elfering: Die Mathematik des Aryabhata I. Wilhelm Fink, München 1975, ISBN 3-7705-1326-6 (214 S.).
• Robert Kaplan: Die Geschichte der Null. Piper, München 2003, ISBN 978-3-492-23918-9, S. 46–59.

Wikisource: Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa – Quellen und Volltexte (englisch)

• Walter E. Clark: The Aryabhatiya of Aryabhata. An Ancient Indian Work On Mathematics And Astronomy. The University of Chicago Press, Juli 1930, abgerufen am 7. Januar 2026 (englisch).