Bernstein-Funktion

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon (0,\infty )\to [0,\infty )}$ ist eine Bernstein-Funktion, falls

• ${\displaystyle f\in C^{\infty }(0,\infty )}$ und
• ${\displaystyle (-1)^{n-1}f^{(n)}(\lambda )\geq 0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle \lambda >0}$ gelten.^[2]

Folgendes ist äquivalent:

• ${\displaystyle f}$ ist eine Bernstein-Funktion.
• Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel ${\displaystyle (a,b,\mu )}$, d. h., es existieren zwei Konstanten ${\displaystyle a,b\geq 0}$ und ein positives Radonmaß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (0,\infty )}$ mit

${\displaystyle \int _{(0,\infty )}(1\wedge t)\mu (\mathrm {d} t)<\infty ,}$

so dass

${\displaystyle f(\lambda )=a+b\lambda +\int _{(0,\infty )}(1-e^{-\lambda t})\mu (\mathrm {d} t)}$

für alle ${\displaystyle \lambda >0}$. Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.^[2]

• René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, doi:10.1515/9783110269338.