Characteristic Classes

Characteristic Classes gibt zunächst eine oberflächliche Einführung in Vektorbündel und singuläre Kohomologie,^[3] zwischen denen charakteristische Klassen eine Verbindung herstellen. Darauf aufbauend wird zentral die Konstruktion der grundlegenden charakteristischen Klassen erarbeitet, zu denen die Stiefel-Whitney-Klassen, Chern-Klassen, Pontrjagin-Klassen und die Euler-Klasse gehören.^[4] Anschließend werden deren Anwendungen beschrieben, wozu vor allem die der Stiefel-Whitney-Zahlen und Pontrjagin-Zahlen für die Klassifikation von Bordismen gehören.^[5] Es werden dabei zudem untergeordnete charakteristische Klassen wie duale Stiefel-Whitney-Klassen, integrale Stiefel-Whitney-Klassen, Wu-Klassen und kombinatorische Pontrjagin-Klassen beschrieben.^[6] Zentrale Resultate wie der Thom-Isomorphismus und der Signatursatz von Hirzebruch werden ebenfalls beschrieben.^[7]

James Stasheff studierte im Jahr 1957 an der Princeton University, wo John Milnor im Jahr 1954 promoviert hatte und weiterhin arbeitete. Während einer Vorlesung von John Milnor über charakteristische Klassen schrieb James Stasheff entsprechende Vorlesungsnotizen, welche erweitert und 17 Jahre später als eigenes Lehrbuch veröffentlicht wurden. („The text which follows is based mostly on lectures at Princeton University in 1957. The senior author wishes to apologize for the delay in publication.“^[8]) Eduard Stiefel, Hassler Whitney, Shing-shen Chern und Lew Pontrjagin waren zu diesem Zeitpunkt alle noch aktiv in der Forschung und das Lehrbuch wurde ihnen gewidmet („We are happy to report that the four original creators of characteristic class theory all remain mathematically active. [....] This book is dedicated to them.“^[8]).

Arbeiten von John Milnor und allgemein seine Beiträge zur mathematischen Literatur wurden bei der Verleihung des Steele Prize an ihn im Jahr 2004 hervorgehoben. Es hieß, seine Leichtigkeit sei das Zeichen eines Meisters („ease is the mark of a master“), sodass Verbesserungen seiner Arbeit oft unmöglich erscheinen („improvement of Milnor's treatments often seems impossible“) und diese haben zudem einen Standard für Klarheit, Eleganz und Schönheit gesetzt, nach dem jede Person in der Mathematik streben sollte („set a standard of clarity, elegance, and beauty for which every mathematician should strive“).^[9]

Edwin Spanier fand das Lehrbuch eine elegante Beschreibung des Themas („an elegant treatment of the subject“). Es würden die wichtigsten Konzepte sowohl klar beschrieben als auch einfach zugänglich gemacht. Es sei dadurch eine ausgezeichnete Quelle für alle, die das Thema entweder neu lernen oder noch einmal darüberschauen wollen. („The main concepts and results are lucidly presented and easily accessible. It is an excellent source for anyone who wants to learn or review the essentials of the subject.“)^[10]

• John Milnor und James Stasheff: Characteristic Classes (= Annals of Mathematics Studies. Band 76). Princeton University Press und University of Tokyo Press, Princeton und Tokyo 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]).