Ekelands Variationsprinzip

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein vollständiger, metrischer Raum und ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ eine unterhalbstetige Funktion, so dass

• ${\displaystyle F}$ von unten beschränkt ist, d. h.

${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)>-\infty }$,

wobei ${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)}$ nicht erreicht werden muss.

• ${\displaystyle F\not \equiv +\infty }$.

Für ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sei ${\displaystyle u\in X}$ so, dass

${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)\leq F(u)\leq \inf \limits _{x\in X}F(x)+\varepsilon }$

gilt.

Dann existiert für jedes ${\displaystyle \lambda >0}$ ein Punkt ${\displaystyle v_{\lambda }\in X}$, so dass^[3]

${\displaystyle F(v_{\lambda })\leq F(u);\qquad d(v_{\lambda },u)\leq \lambda$ ;\qquad F(v_{\lambda })-(\varepsilon /\lambda )d(w,v_{\lambda })<F(w),\;\forall w\neq v_{\lambda }.}

Korollar

Daraus folgt, dass für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ein ${\displaystyle v\in X}$ existiert, so dass

${\displaystyle F(v)\leq \inf \limits _{x\in X}F(x)+\varepsilon }$

und

${\displaystyle F(v)-\varepsilon d(w,v)<F(w),\;\forall w\in X.}$