Entartung (Quantenmechanik)

Entartung im Wasserstoffatom

In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Zweikörperproblems mit einem Potential ${\displaystyle \propto (-{\tfrac {1}{r}})}$ zurückführen.

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Entartung zu den ersten drei Energieeigenwerten des Wasserstoffatoms

Hauptquantenzahl ${\displaystyle n}$	Drehimpuls-QZ ${\displaystyle l=0\ldots n-1}$	Orbital	magnetische QZ ${\displaystyle m_{l}=-l\ldots 0\ldots +l}$	Entartungsgrad: ${\displaystyle \sum _{l=0}^{n-1}{(2l+1)}=n^{2}}$-fach
1	0	s	0	1
2	0	s	0	4
	1	p	−1, 0, +1
3	0	s	0	9
	1	p	−1, 0, +1
	2	d	−2, −1, 0, +1, +2

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Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf.^[4] Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur)^[4] und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift)^[4] reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.

Entartung bei der Teilchenbewegung in einem Potential mit gerader Parität

Bei gerader Parität ${\displaystyle V({\vec {r}})=V(-{\vec {r}})}$ ist der Hamilton-Operator

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}$

ebenfalls von gerader Parität ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-{\vec {r}})={\mathcal {H}}({\vec {r}})}$. Er vertauscht mit dem Paritätsoperator ${\displaystyle \langle {\vec {r}}|\Pi |\psi \rangle =\psi (-{\vec {r}})}$:^[5] ${\displaystyle [\Pi ,{\mathcal {H}}]=0}$.

Für einen Eigenzustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ des Hamilton-Operators

${\displaystyle {\mathcal {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$

mit der Eigenschaft, dass er keine bestimmte Parität besitzt, bedeutet das, dass ${\displaystyle \Pi |\psi \rangle }$ nicht parallel zu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ist. In diesem Fall ist ${\displaystyle \Pi |\psi \rangle }$ ein weiterer Eigenzustand des Hamilton-Operators ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mit gleichem Energieeigenwert. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass^[6] ${\displaystyle [\Pi ,{\mathcal {H}}]=0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\Pi |\psi \rangle =\Pi \,{\mathcal {H}}|\psi \rangle =\Pi \,E|\psi \rangle =E\,\Pi |\psi \rangle }$

Damit ist der Energieeigenwert ${\displaystyle E}$ entartet.

Dies gilt insbesondere für das freie Teilchen mit ${\displaystyle V=0}$.

Entartung der Energie der Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten mit unendlich hohen Wänden

Das Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden sei definiert als:

${\displaystyle V_{\infty }(x,y)={\begin{cases}0\quad {\text{ für }}0\leq x,y\leq a&\\\infty \quad {\text{für }}x,y<0{\text{ oder }}x,y>a\end{cases}}}$

Der Hamilton-Operator eines Teilchens mit der Masse ${\displaystyle m}$ in diesem Potentialtopf lautet:^[7]

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+V_{\infty }(x)+V_{\infty }(y)={\mathcal {H}}_{x}+{\mathcal {H}}_{y}}$

Er setzt sich aus den eindimensionalen Hamilton-Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{y}}$ eines Teilchens in einem Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden zusammen, mit den jeweiligen Energieeigenwerten:^[8]

${\displaystyle E_{x}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n_{x}^{2}}$ und ${\displaystyle E_{y}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n_{y}^{2}}$ mit ${\displaystyle n_{x},n_{y}\geq 1}$.

Die Gesamtenergie ergibt sich damit zu:

${\displaystyle E_{n_{x}n_{y}}=E_{x}+E_{y}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$

Da ${\displaystyle E_{n_{x}n_{y}}=E_{n_{y}n_{x}}}$ tritt Entartung auf, wenn ${\displaystyle n_{x}\neq n_{y}}$. Ein Beispiel ist ${\displaystyle E_{13}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}\cdot 10=E_{31}}$

Entartung beim kugelsymmetrischen Oszillator

Die potentielle Energie eines kugelsymmetrischen Oszillators mit der Masse ${\displaystyle m}$, der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ und dem Radius ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle V={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}}$

Die Schrödinger-Gleichung lautet dann ^[9]

${\displaystyle E\,|\psi \rangle ={\mathcal {H}}\,|\psi \rangle =-{\tfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\,|\psi \rangle +{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}|\psi \rangle }$

Mit ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ und ${\displaystyle \nabla ^{2}={\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial x^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial y^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial z^{2}}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$ kann die Lösung ${\displaystyle |\psi \rangle }$ separiert werden in ein Produkt aus Einzellösungen ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{x}\rangle |\psi _{y}\rangle |\psi _{z}\rangle }$ von denen jede die Schrödinger-Gleichungen des eindimensionalen harmonischen Oszillators erfüllt:

${\displaystyle E_{\alpha }\,|\psi _{\alpha }\rangle =-{\tfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{\alpha }^{2}\,|\psi _{\alpha }\rangle +{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\alpha ^{2}|\psi _{\alpha }\rangle \quad E_{\alpha }=\hbar \omega (n_{\alpha }+{\tfrac {1}{2}})}$

Dabei ist ${\displaystyle \alpha =x,y,z}$ und ${\displaystyle n_{\alpha }=n_{x},n_{y},n_{z}}$ sind ganze Zahlen ${\displaystyle n_{\alpha }\geq 0}$ und die Gesamtenergie beträgt: ^[10]

${\displaystyle E=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\hbar \omega (n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}})=\hbar \omega (N+{\tfrac {3}{2}})}$

Nur der Grundzustand ${\displaystyle N=0}$ ist nicht entartet. Für ${\displaystyle N=n_{x}+n_{y}+n_{z}\geq 1}$ gibt es zu gegebenen ${\displaystyle n_{x}}$ und ${\displaystyle n_{y}}$ genau ein festes ${\displaystyle n_{z}}$. Die Entartung ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist dann die Anzahl der Möglichkeiten drei positive und eventuell verschwindende Zahlen ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ zu ${\displaystyle N}$ zusammen zu addieren:^[11][12]

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{N}=\sum _{n_{x}=0}^{N}\sum _{n_{y}=0}^{N-n_{x}}1=\sum _{n_{x}=0}^{N}(N-n_{x}+1)=(N+1)^{2}-{\tfrac {1}{2}}N(N+1)={\tfrac {1}{2}}(N+1)(N+2)}$

Beispiele: ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}=1}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}=3}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}=6\ldots }$

Mit diesem einfachen Modell lassen sich die unteren magischen Zahlen ${\displaystyle 4=4\cdot {\mathcal {N}}_{0}}$, ${\displaystyle 16=4\cdot ({\mathcal {N}}_{0}+{\mathcal {N}}_{1})}$ und ${\displaystyle 40=4\cdot ({\mathcal {N}}_{0}+{\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2})}$ der höheren Stabilität von Atomkernen erklären.^[13] Jeder Zustand kann mit zwei Protonen und zwei Neutronen mit jeweils entgegengesetztem Spin besetzt werden. Im Schalenmodell sind damit die Isotope ${\displaystyle ^{4}{\text{He}}}$, ${\displaystyle ^{16}{\text{O}}}$ und ${\displaystyle ^{40}{\text{Ca}}}$ besonders stabil und haben eine hohe Bindungsenergie.