Elemente (Euklid)

Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid From Wikipedia, the free encyclopedia

Die Elemente (im Original Στοιχεῖα Stoicheia „Anfangsgründe“) sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden.

Papyrusfragment aus der Grabungsstätte Oxyrhynchos. Es zeigt eine Behauptung aus den Elementen (Buch II, § 5). Aus (P. Oxy. I 29).
Seite aus der mutmaßlich ältesten vollständigen Überlieferung der Elemente von 888 n. Chr.[1] Euklid, Elemente 10, Appendix, Oxford, Bodleian Library, MS. D’Orville 301, fol. 268r.

Die Elemente wurden zweitausend Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.[2][3]

Inhaltliche Übersicht

Euklids Elemente bestanden ursprünglich aus 13 Teilen in altgriechischer Schrift, die Euklid damals als Bücher bezeichnete und nach heutigem Verständnis Kapiteln entsprechen.[4] Später kamen zwei weitere Teile anderer Autoren hinzu.[5]

In den Teilen werden eine Reihe von Behauptungen (Propositionen) aufgestellt und je anschließend bewiesen. Zu diesem Zweck werden zu Beginn des ersten Teils 23 Definitionen angegeben sowie je 5 sogenannte Postulate und Axiome formuliert. Die folgenden Teile ergänzen weitere Definitionen, argumentieren ansonsten aber mit den Postulaten und Axiomen aus dem ersten Teil.

Heute unterscheidet man bei den Propositionen zwischen Lehrsätzen und Konstruktionsaufgaben, was noch im Originaltext nicht explizit geschah. Ebenfalls nachträglich wurden die Propositionen durchnummeriert und für Querverweise in anderen Propositionen verwendet (im Original wurden die Ergebnisse vorangegangener Propositionen stattdessen komplett wiederholt). Zum Ende eines Beweises bediente sich Euklid zudem der beiden Schlussformeln „was zu beweisen war“ für Lehrsätze bzw. „was auszuführen war“ für Konstruktionen.[6]

Weitere Informationen Buch, I ...
Übersicht zu den ursprünglichen 13 Teilen von Euklids Elementen[7]
Buch I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII Gesamt
Definitionen 23211718422––1628––131
Postulate 5––––––––––––5
Axiome 5––––––––––––5
Behauptungen 481437162533392736115391818465
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Axiomatik

Wesentlich am historischen Wert der Elemente ist die axiomatische Methode zur Begründung mathematischen Wissens. Statt Aussagen intuitiv logisch zu begründen, hat das Werk den Anspruch, Behauptungen systematisch durch logische Schlussfolgerungen aus einer Sammlung von Grundannahmen (den 10 Postulaten bzw. Axiomen) herzuleiten und war damit wegweisend für weitere Anstrengungen zur Axiomatisierung mathematischer Teilgebiete bzw. der Mathematik als Ganzes – wie sie insbesondere Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts intensiv verfolgt wurde.

Obwohl im Werk zwischen Postulaten und Axiomen unterschieden wird, haben beide axiomatischen Charakter. Während Postulate geometrische Grundannahmen zum Ausdruck bringen, sind Axiome Annahmen zu logischen Zusammenhängen.

Für die Axiomatisierung des mathematischen Teilgebiets der Geometrie sind die fünf geometrischen Grundannahmen am wichtigsten, die in diesem Kontext daher heute als „Theorieaxiome“ bezeichnet werden und ins Deutsche übersetzt wie folgt lauten:[8]

Graphische Darstellung der 5 Postulate der Elemente. V stellt das Parallelenaxiom in originaler, V' in moderner Formulierung dar.
  1. Postulat: „Es ist möglich, eine und nur eine gerade Linie von einem beliebigen Punkt zu einem beliebigen anderen Punkt zu zeichnen.“
  2. Postulat: „Es ist möglich, eine begrenzte gerade Linie an jedem Ende zusammenhängend gerade zu verlängern, und zwar um einen Beitrag, der größer ist als eine beliebige vorgegebene Länge.“
  3. Postulat: „Es ist möglich, einen und nur einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen.“
  4. Postulat: „Alle rechten Winkel sind einander gleich.“
  5. Postulat: „Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.“

Das 5. Postulat, das in einer abgewandelten Formulierung auch als Parallelenaxiom bekannt ist, sticht hierbei heraus. Man hat historisch versucht, es aus den anderen Postulaten herzuleiten (was es dann zu einem Theorem gemacht hätte, das Bemühen darum ist auch als Parallelenproblem bekannt), was später als unmöglich erkannt wurde. Stattdessen eröffnet eine Abwandlung des 5. Postulats das Tor zu den sogenannten nichteuklidischen Geometrien.

Die Elemente sind trotz ihres auf den ersten Blick stringent erscheinenden Formalismus weniger formal als modernere Ansätze zur Axiomatisierung (vgl. Begriffsschrift von Frege, Principia Mathematica von Russell und Whitehead oder ZF-Mengenlehre von Zermelo und Fraenkel). Zwar werden Theoreme zur Geometrie aus 10 definitiven Annahmen gewonnen, die verwendeten Schlussregeln (die nach modernem Verständnis für jedes formale System notwendig sind) werden allerdings nirgends eingeführt, sondern nach intuitivem Verständnis angewandt. Auch greifen die Elemente auf keine Formelsprache zurück, stattdessen werden Annahmen, Theoreme und Schlussfolgerungen umgangssprachlich ausgedrückt.[8]

Die einzelnen Bücher

Die 13 Bücher in Euklids Elemente schlüsseln sich wie folgt in Themengebiete auf (in Klammern die vermuteten Quellen):

Buch 1–6: Flächengeometrie, u. a. kongruente und ähnliche Figuren

Buch 7–9: Arithmetik, u. a. Zahlentheorie und Proportionenlehre

Buch 10: Geometrie für inkommensurable Größen (Theaitetos)

Buch 11–13: Raumgeometrie

Zu diesen Büchern kamen später noch zwei weitere hinzu, die aber nicht zu den eigentlichen Elementen gezählt werden:

  • Buch 14: Ein Buch des Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.) über Ikosaeder und Dodekaeder
  • Buch 15: Ein nur arabisch und hebräisch erhaltenes Buch eines späteren unbekannten Autors, arabisch in Kommentaren von Muhyi al-Dīn al-Maghribī erhalten. Es behandelt die fünf regulären Polyeder. Möglicherweise geht es auf griechische Überlieferung zurück.

Bekannte Resultate

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Euklids Elemente enthalten zahlreiche bedeutende mathematische Resultate. Zum Teil sind die Elemente die älteste Quelle für diese Resultate. Bekannt sind zum Beispiel:

Überlieferung

Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570)

Die älteste erhaltene griechische Handschrift stammt aus dem Byzanz des Jahres 888, wird in der Bodleian Library (Oxford) aufbewahrt (MS. D’Orville 301) und entspricht der Ausgabe in der Bearbeitung von Theon von Alexandria. Von besonderer Bedeutung ist eine griechische Handschrift aus dem 10. Jahrhundert in der Vatikanbibliothek (Vaticanus Graecus 190, von Heiberg P genannt), die einen Text vor der Bearbeitung durch Theon enthält und auf der alle neueren Ausgaben beruhen. Sie enthält Buch 1 bis 15 (sowie die Data, den Kommentar von Marinos zu den Data und einige Texte von Theon). Es gibt auch ein 1897 in Oxyrhynchus gefundenes Papyrusfragment (Oxyrhynchus 29, Bibliothek der University of Pennsylvania), wahrscheinlich aus der Zeit von 75 bis 125 n. Chr., das aber nur die Proposition 5 aus Buch 2 enthält, und ein Papyrusfragment aus Herculaneum (Nr. 1061) mit der Definition 15 aus Buch 1.

Sowohl die Version von Theon als auch Vatikan 190 enthalten Erläuterungen und kleinere Zusätze älterer Bearbeiter, die sogenannten Scholia.

Eine Übersetzung des Boethius aus dem Griechischen ins Lateinische (um 500) ist nur teilweise und auch nur in späteren Bearbeitungen erhalten. Frühere Übersetzungen ins Lateinische (vor Boethius) sind verloren.

Von den zahlreichen arabischen Übersetzungen und Kommentaren waren für die Überlieferung besonders die beiden nur fragmentarisch bekannten Übersetzungen des al-Haggag (oder al-Haddschadsch) gegen Ende des 8. Jahrhunderts und diejenigen von Ishaq ibn Hunayn / Thabit ibn Qurra (Ende 9. Jahrhundert) bzw. von Nasir Al-din al-Tusi (1248) von Bedeutung. Al-Nayrizi schrieb Anfang des 10. Jahrhunderts einen Kommentar, basierend auf der Übersetzung von Al-Haggag.[9]

Die erste mittelalterliche Übersetzung der Elemente ins Lateinische stammt von dem Engländer Adelard von Bath.[10] Dieser durchstreifte im 12. Jahrhundert Europa auf der Suche nach Handschriften und übertrug so um 1120 auch dieses Werk aus dem Arabischen. Unabhängig davon wurden die Elemente im gleichen Jahrhundert in Spanien von mindestens zwei weiteren berühmten Übersetzern aus dem Arabischen übertragen: von Hermann von Kärnten und von Gerhard von Cremona.[11] Die einflussreichste der frühen Übersetzungen war die von Campanus von Novara (um 1260) ins Lateinische (er benutzte die Übersetzung von Adelhard von Bath und andere Werke), die auch später die Grundlage der ersten Drucke der Elemente war und bis ins 16. Jahrhundert die dominierende Ausgabe war, als Übersetzungen direkt aus dem Griechischen diese ablösten. Insgesamt sind die Elemente eine der häufigsten in Handschriften überlieferten Texte des Mittelalters in zahlreichen unterschiedlichen, meist ziemlich freien Versionen.

Ebenfalls im 12. Jahrhundert entstand in Süditalien oder auf Sizilien eine weitere Übersetzung der Elemente aus dem Griechischen, deren Autor jedoch unbekannt ist. Wegen des Stils der Übersetzung liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei diesem Autor um denselben handelt, der um 1160 auch den Almagest des Ptolemäus übersetzte. Sie wurde 1966 von John E. Murdoch identifiziert.[12][13]

Titelblatt von Bartolomeo Zambertis lateinischer Übersetzung der Elemente (1505)

Natürlich gehörten Die Elemente zu den ersten Werken, die man gedruckt haben wollte. Die erste lateinische Ausgabe, beruhend auf der Übersetzung von Campanus von Novara, erschien 1482 in Venedig. Die vorbereitende Bearbeitung des Regiomontanus blieb in den 1460er Jahren unvollendet. Eine vollständige Übersetzung aus dem Griechischen von Bartolomeo Zamberti (oder Zamberto, 1473 bis nach 1543) konnte dann 1505 gedruckt werden. Aus dieser Zeit nach der Erfindung des Buchdrucks werden hier nur noch einige wichtige Werke hervorgehoben: die Übersetzung des Federicus Commandinus (1509–1575) aus dem Griechischen (1572), die ausführlich kommentierte Ausgabe von Christoph Clavius (1574) und die Oxford-Ausgabe der Werke Euklids von David Gregory 1703 (Griechisch/Lateinisch). All dies waren Übersetzungen ins Lateinische. Die erste Übersetzung in eine moderne westliche Sprache veröffentlichte Niccolò Tartaglia 1543. Die erste deutsche Übersetzung erschien 1555 (Johann Scheubel)[14] und Simon Marius veröffentlichte 1609 die erste deutsche Übersetzung (der ersten sechs Bücher) direkt aus dem Griechischen. Die erste englische Übersetzung erschien 1570 (Henry Billingsley),[15] die erste französische 1564 (Pierre Forcadel),[16] die erste spanische 1576 (Rodrigo Zamorano)[17] und die erste niederländische 1606 (Jan Pieterszoon Dou).[18] Die erste Übersetzung ins Chinesische (der ersten Teile) erfolgte von Xu Guangqi und Matteo Ricci (1607). In den volkstümlichen Ausgaben ab dem 16. Jahrhundert wurden allerdings häufig Vereinfachungen und Bearbeitungen vorgenommen, die Beweise durch Beispiele ersetzt und es wurden auch meist nicht alle Bücher der Elemente herausgegeben, sondern typischerweise nur die ersten sechs.

Die erste gedruckte Ausgabe des griechischen Textes (Editio Princeps) erfolgte bei Simon Grynaeus 1533 in Basel.

Bekannte Kommentare schrieben in der Antike Proklos und Theon von Alexandria, der in seiner Ausgabe der Elemente eigene Bearbeitungen vornahm.[19] Alle im Westen bekannten Ausgaben beruhten bis ins 19. Jahrhundert auf Text-Versionen, die von Theon und seiner Schule abstammten. Erst Johan Ludvig Heiberg rekonstruierte eine Originalfassung aufgrund einer Handschrift (Vaticanus Graecus 190), die nicht auf der Überlieferungslinie von Theon beruhte, und die François Peyrard unter den von Napoleon aus dem Vatikan beschlagnahmten Büchern entdeckte. Daraus veröffentlichte Peyrard 1804 und 1814–1818 eine französische Übersetzung, die in Deutschland von Johann Wilhelm Camerer und Karl Friedrich Hauber für ihre lateinisch-griechische Ausgabe der ersten sechs Bücher 1824/25 benutzt wurde. Nach der Ausgabe von Heiberg veröffentlichte Clemens Thaer eine deutsche Übersetzung (1933–1937).

1996 kritisierte Wilbur Richard Knorr Heibergs Textausgabe, die der griechischen Überlieferungslinie folgt und als Standardausgabe gilt, anhand der arabischen Überlieferungslinie (mit der sich Heiberg 1884 anlässlich der Untersuchungen zum arabischen Euklid von Martin Klamroth auseinandergesetzt hatte).[20]

Literatur

  • Euklids Elemente, funfzehn Bücher. Übersetzt von Johann Friedrich Lorenz, Halle 1781 (online).
  • Johan Ludvig Heiberg, Heinrich Menge (Hrsg.): Euclidis Opera Omnia. Leipzig, Teubner, ab 1888, Band 1–5 mit den Elementen (davon die Scholia in Band 5), neu herausgegeben bei Teubner 1969 bis 1977 als Euclidis Elementa (griechisch, lateinisch).
  • Euklid: Die Elemente. Bücher I–XIII. Hrsg. u. übers. v. Clemens Thaer. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt a. M. 2003 (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235, 236, 240, 241, 243). Die Übersetzung erschien zuerst 1933–1937. ISBN 3-8171-3413-4.
  • Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der „Elemente“ des Euklid (um 365–300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke 16. Jahrhundert. Textkritische Editionen des 17.–20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.–20. Jahrhundert). Nachdruck, hrsg. v. Menso Folkerts. Gerstenberg, Hildesheim 1981.
  • Benno Artmann: Euclid – The Creation of Mathematics. Springer, New York / Berlin / Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98423-2 (englische Einführung in Aufbau und Beweistechnik der Elemente).
  • The thirteen books of Euclid’s elements. Hrsg. und übers. v. Thomas Heath, 3 Bände, Cambridge University Press 1908, Nachdruck Dover 1956 (englische Übersetzung mit ausführlichem Kommentar und Einleitung zu Euklid).
  • Max Simon: Euklid und die sechs planimetrischen Bücher. Teubner, Leipzig 1901 (Übersetzung der ersten sechs Bücher).
  • Martin Klamroth: Über den arabischen Euklid. In: Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft. Band 35, 1881, S. 270–326 (online).
  • John E. Murdoch: Euclid. Transmission of the Elements. In: Dictionary of Scientific Biography. Band 4, 1971, S. 437–459.
  • Benjamin Wardhaugh: Encounters with Euclid. How an Ancient Greek Geometry Text Shaped the World. Princeton University Press, 2021, ISBN 978-0-691-21169-5 (englische Hardcover Ausgabe als The Book of Wonders – The Many Lives of Euclid’s Elements, Harper Collins 2020).
    • deutsche Ausgabe: Begegnungen mit Euklid: Wie die »Elemente« die Welt veränderten. Harper Collins, Hamburg 2022, ISBN 978-3-7499-0209-5.
  • Isaac Todhunter: The Elements of Euclid for the Use of Schools and Colleges. Macmillan, London 1872 (englisch); Volltext (Wikisource).

Weblinks

Commons: Elements of Euclid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Anmerkungen

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