Fehlendes-Quadrat-Rätsel

Die obere Anordnung ist kein Dreieck.

Zum Beweis betrachten wir die Steigungen des roten und des blauen Dreiecks. Die Hypotenuse des roten Dreiecks hat die Steigung 3/8 = 37,5 %, die des blauen hat die Steigung 2/5 = 40 %. Aus der Ungleichheit der Steigungen folgt, dass der Berührpunkt der beiden Dreiecke ein weiterer Eckpunkt der Anordnung ist. Die Anordnung ist ein Viereck, lax formuliert: das scheinbare Dreieck ist geringfügig nach innen eingebeult. Das sieht man kaum, ist aber so. Nun ist es nicht verwunderlich, dass der Tausch der Dreiecke aus der Einbeulung eine Ausbeulung macht, und dieser Unterschied macht gerade die Fläche des fehlenden Quadrates aus.

Zum Nachrechnen bezeichnen wir in der oberen Anordnung den linken unteren Eckpunkt mit A, den rechten unteren mit B und den oberen mit C. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, also ist sein Flächeninhalt die Hälfte des Produktes der Kathetenlängen, unter der Annahme, dass das Rastermaß 1 cm ist, also: ${\displaystyle 13\cdot 5\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 32{,}5\ \mathrm {cm^{2}} }$

Im Gegenzug betrachten wir die farbigen Teilflächen:

• ein rechtwinkliges Dreieck (hier: blau) mit einer Fläche von
  ${\displaystyle 5\cdot 2\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 5\ \mathrm {cm^{2}} }$
• einem weiteren Dreieck (hier: rot) mit einer Fläche von
  ${\displaystyle 8\cdot 3\cdot {\frac {1}{2}}\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 12\ \mathrm {cm^{2}} }$
• zwei weiteren Flächen (hier: gelb und grün), die zusammen ein Rechteck mit der Größe von
  ${\displaystyle 5\cdot 3\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 15\ \mathrm {cm^{2}} }$
  bilden; hiervon entfallen
  ${\displaystyle 1\cdot 5\ \mathrm {cm^{2}} +1\cdot 2\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 7\ \mathrm {cm^{2}} }$ auf gelb und
  ${\displaystyle 1\cdot 5\ \mathrm {cm^{2}} +1\cdot 3\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 8\ \mathrm {cm^{2}} }$ auf grün

Die farbigen Teile haben also eine Gesamtfläche von nur

${\displaystyle 5\ \mathrm {cm^{2}} +12\ \mathrm {cm^{2}} +7\ \mathrm {cm^{2}} +8\ \mathrm {cm^{2}} \ =\ 32\ \mathrm {cm^{2}} }$.

Bezeichnen wir den Berührpunkt in der oberen Anordnung mit D, so hat das Dreieck ADC eine Fläche von 0,5 Quadratzentimetern. Dieses Dreieck ergänzt die obere Anordnung, also das Viereck ABCD, zu dem Dreieck ABC.

Der Zuschauer wird optisch getäuscht: Die zwei Gesamtgebilde sind keine Dreiecke, sondern tatsächlich Vierecke. Der Trick liegt darin, dass das rote und blaue Dreieck nur scheinbar ähnlich im geometrischen Sinn sind. Ihre Winkel sind in Wirklichkeit verschieden. Mathematisch lässt sich dies wie folgt beweisen:

• blaues Dreieck:
  ${\displaystyle \arctan \left({\frac {2}{5}}\right)=\arctan \left(0{,}4\right)\approx 21{,}8\,^{\circ }}$
• rotes Dreieck:
  ${\displaystyle \arctan \left({\frac {3}{8}}\right)=\arctan \left(0{,}375\right)\approx 20{,}56\,^{\circ }}$
• zum Vergleich der Winkel eines Dreiecks mit Katheten der Länge von 13 und 5 (also entsprechend dem Gesamtdreieck):
  ${\displaystyle \arctan \left({\frac {5}{13}}\right)\approx \arctan \left(0{,}385\right)\approx 21{,}04\,^{\circ }}$

Die beiden Gesamtdreiecke haben folglich nicht drei, sondern vier Ecken; davon ist eine Ecke allerdings kaum sichtbar. Sie befindet sich aber dennoch am Übergang vom roten zum blauen Dreieck. Die oberen Kanten des roten und blauen Dreiecks erscheinen im angeblichen Gesamtdreieck als eine lange Gerade, als Hypotenuse des angeblichen Gesamtdreiecks. In Wirklichkeit hat die scheinbare lange Gerade einen Knick, das ist die vierte Ecke.

Das scheinbare obere Gesamtdreieck ist ein konkaves (eingedrücktes) Viereck, und das scheinbare untere Gesamtdreieck ein konvexes (aufgebogenes) Viereck. Die Flächeninhalte dieser beiden Vierecke unterscheiden sich um 1 cm². Dies entspricht dem fehlenden Quadrat.

Es handelt sich um eine optische Täuschung insofern, als die obere Kante nur scheinbar eine Gerade ist. Das Auge vermutet im Gesamtgebilde ein Dreieck und ist daher geneigt, den Knick zu übersehen. Es geht von einer einheitlichen Gesamtsteigung aus.

Man kann von dieser optischen Täuschung auch eine Papierversion herstellen. Dabei wird der Knick durch eine dick gezeichnete Randlinie verdeckt. Außerdem ist das Ausschneiden und Zusammenfügen zu ungenau, als dass man den Unterschied sehen könnte.

Eine spezielle geometrische Anordnung von Sam Loyd illustriert ein erweitertes Paradoxon. Es scheint so, als könnten dieselben geometrischen Teile in unterschiedlichen Anordnungen drei verschiedene Gesamtflächen einnehmen. In Wirklichkeit berühren sich die Teile allerdings nicht komplett und ragen teilweise auch über die karierten Grenzen hinaus. Durch diesen Verschnitt können die unterschiedlichen Gesamtflächen erreicht werden.

• Martin Gardner: Mathematics, Magic and Mystery. Courier (Dover), 1956, ISBN 978-0-486-20335-5, S. 129–155

Commons: Missing square puzzle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Jigsaw Paradox
• Eric W. Weisstein: Triangle Dissection Paradox. In: MathWorld (englisch).
• Curry's Paradox: How Is It Possible? (englisch)
• Triangles and Paradoxes (englisch)