Fehlerfunktion

Die Bezeichnung ${\displaystyle {\textrm {erf}}(x)}$ kommt von error function.

Es gilt:

${\displaystyle \operatorname {erf} (a,b)=\operatorname {erf} (b)-\operatorname {erf} (a)}$

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

${\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)}$

Das uneigentliche Integral von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle +\infty }$ ist

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=2}$

Außerdem gilt:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)^{2}={\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp[-x^{2}(y^{2}+1)]}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y}$

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\dotsb \right),}$

für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {e^{-x^{2}}}{x+{\frac {1}{2x+{\frac {2}{x+{\frac {3}{2x+{\frac {4}{x+\dotsb }}}}}}}}}}.}$

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von ${\displaystyle 1{,}2\cdot 10^{-7}}$:^[3]

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\begin{cases}1-\tau (x){\text{,}}&{\text{falls }}x\geq 0{\text{,}}\\\tau (-x)-1&{\text{sonst,}}\end{cases}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\tau (x)&=&t\cdot \exp {\bigl (}-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\&&\qquad -0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^{7}\\&&\qquad -0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}{\bigr )}\end{array}}}$

und

${\displaystyle t={\frac {1}{1+0{,}5\,|x|}}.}$

Eine für alle reellen Werte von ${\displaystyle x}$ schnell konvergierende Entwicklung^[4] erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:^[5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\ \cdots \right)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right)\end{aligned}}}$

Durch geeignete Wahl von ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei ${\displaystyle \textstyle x=\pm 1{,}3796}$ kleiner als ${\displaystyle \textstyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}}$ ist:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}\,e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}\,e^{-2\,x^{2}}\right)}$

Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente ${\displaystyle z}$ ausgeweitet werden:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\tau ^{2}}\,\mathrm {d} \tau }$

In diesem Fall ist ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt

${\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=\operatorname {erf} (z)^{*}}$.

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972, Chapter 7.
• William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge 1992, S. 220 ff. (PDF; 76 kB)
• Bronstein, I.N. und Semendjajew, K.A., Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, S. 782