Freiheitsgrad

Holonome und nicht-holonome Systeme

Den Bewegungsfreiheiten im Großen, beispielsweise nach Grübler, stehen die Bewegungsfreiheiten im Kleinen, das heißt bei infinitesimaler Betrachtung eines mechanischen Systems, gegenüber. Dabei gilt, dass die Bewegungsfreiheiten im Kleinen jeweils real kleiner, aber prinzipiel gleich derer im Großen sind. Nicht-holonome Systeme sind solche, bei deren nicht-holonome (anholonome) Zwangsbedingungen vorhanden sind, weshalb die infinitesimale Bewegungsfreiheit der Systeme eingeschränkt ist.

Technische Mechanik und Grüblersche Gleichung

Gemäß der Grüblerschen Gleichung ist die Zahl der Bewegungsfreiheiten eines Systems, das aus vielen Teilsystemen gebildet wird, gleich der Summe der Bewegungsfreiheiten der Teilsysteme. Beispielsweise hat ein Auto in der Ebene drei Bewegungsfreiheiten (Positionswechsel entlang von x- und y-Koordinate sowie Fahrtrichtung). Ein einachsiger Anhänger hat prinzipiell vier Bewegungsfreiheiten, da er zusätzlich noch nach vorn und hinten kippen könnte. Wird der Anhänger an das Auto angehängt, hat das Gesamtsystem dennoch nur insgesamt vier Bewegungszustände (Positionswechsel entlang von x- und y-Koordinate, Drehung des Zugfahrzeugs sowie Änderung des Winkels, in dem der Anhänger zum Zugfahrzeug steht), da das Kippen sowie die unabhängige Bewegung des Anhängers durch die Anhängerkupplung unterbunden wird.

Beispiel: Doppelpendel

Zwei freie Punktmassen ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ haben im dreidimensionalen Raum jeweils drei Translationsfreiheiten, insgesamt also sechs. Ein Doppelpendel, das über Drehgelenke verbunden ist, kann jedoch nur in einer Ebene schwingen, sodass seine Beweglichkeit durch folgende Zwangsbedingungen eingeschränkt ist (s. Abb.):

• ${\displaystyle m_{1}}$ befindet sich in der ${\displaystyle xy}$-Ebene (${\displaystyle z_{1}=0}$), ${\displaystyle m_{2}}$ ebenso (${\displaystyle z_{2}=0}$).
• Die Stäbe der beiden Pendel sind starr (${\displaystyle L_{1}=\mathrm {const.} }$ und ${\displaystyle L_{2}={\text{const.}}}$). Jede Punktmasse kann sich daher nur auf einem Kreisbogen rund um den Kreismittelpunkt bewegen.

Diese vier Zwangsbedingungen reduzieren die Zahl der Bewegungsfreiheiten auf ${\displaystyle f=6-4=2}$. Für die Beschreibung des Systems genügen daher die beiden Winkel ${\displaystyle \theta _{1}}$ und ${\displaystyle \theta _{2}}$ als unabhängige verallgemeinerte Koordinaten.

Beispiel: Gelenke

Im Gelenk eines Mechanismus sind zwei Teile miteinander beweglich verbunden. Die Anzahl der möglichen Bewegungen in einem Gelenk-System sind eins bis fünf (von den prinzipiell sechs Bewegungsfreiheiten des ungebundenen starren Körpers wird mindestens eine im Gelenk unterbunden). Der Freiheitsgrad einfacher Gelenke ist eins bis drei. Darüber hinaus müssen mehrere einfache Gelenke kombiniert werden (Gelenk-System).

Bei einem Freiheitsgrad kleiner eins handelt es sich nicht um ein Gelenk, sondern um eine Einspannung.

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Gelenktyp	Freiheitsgrad	Abb.
Drehgelenk	${\displaystyle f=1}$ → Drehung	Fig. 2.
Schraubgelenk	${\displaystyle f=1}$ → auf Schraubenlinie schiebbar	Fig. 3.
Drehschub-, Plattengelenk	${\displaystyle f=3}$ → Längs-, Querbewegung (über eine kurze Strecke), Drehung	Fig. 5.
Drehschubgelenk	${\displaystyle f=2}$ → Längsbewegung, Drehung	Fig. 6.
Kugelgelenk	${\displaystyle f=3}$ → 3 Drehungen	Fig. 7.

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Freiheitsgrade eines Massenpunkts

Ein Massenpunkt kann (bezogen auf seinen Schwerpunkt) weder rotieren noch schwingen, sondern nur in den drei Raumrichtungen bewegen. Er hat

${\displaystyle f=3}$

Freiheitsgrade. Die Atome einatomiger Gase wie die Edelgase zeigen ein dementsprechendes thermodynamisches Verhalten, solange ihre thermische Energie unterhalb der Anregungsschwelle innerer angeregter Zustände bleibt.

Freiheitsgrade der Moleküle

Jedes Molekül mit ${\displaystyle n}$ Atomen hat allgemein

${\displaystyle f=3n}$

Freiheitsgrade, weil man für jedes Atom drei Koordinaten braucht, um seine Position zu definieren. Diese kann man formal in Translations-, Rotations- und innere Schwingungsfreiheitsgrade einteilen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=f_{\mathrm {trans} }+f_{\mathrm {rot} }+f_{\mathrm {vib} }\\\Rightarrow f_{\mathrm {vib} }&=3n-f_{\mathrm {trans} }-f_{\mathrm {rot} }\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle n}$-atomige Moleküle gilt:

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	lineare Moleküle	nicht lineare Moleküle
${\displaystyle f_{\mathrm {trans} }}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle f_{\mathrm {rot} }}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle f_{\mathrm {vib} }}$	${\displaystyle 3n-5}$	${\displaystyle 3n-6}$
Summe ${\displaystyle f}$	${\displaystyle 3n}$	${\displaystyle 3n}$

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Komplexe Moleküle mit vielen Atomen haben daher viele Schwingungsfreiheitsgrade (siehe Molekülschwingung) und liefern somit einen hohen Beitrag zur Entropie.

Bei Molekülen, die auf Festkörperoberflächen adsorbiert sind, kann die Anzahl an Freiheitsgrade reduziert sein. Beispielsweise kann statt drei Rotationsfreiheitsgraden eines Moleküls in der Gasphase für das adsorbierte Molekül nur einer möglich sein. Gleiches gilt für Translationsfreiheitsgrade, die z. B. von drei (Gasphase) zu nur zwei im Fall der Adsorption werden können. Aufgrund der diskreten Energieniveaus der Quantenmechanik können bei niedrigen Energien meist nicht alle ${\displaystyle f}$ Freiheitsgrade angeregt werden, da der erste angeregte Zustand bereits eine zu hohe Energie besitzt. Dadurch kann ein System bei einer gegebenen Temperatur effektiv weniger Freiheitsgrade haben:

${\displaystyle f_{\mathrm {eff} }=f-r}$

Liegen zwischen Atomen ${\displaystyle r}$ starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der effektiven Freiheitsgrade. Zum Beispiel hat ein Atom bei Raumtemperatur effektiv nur die drei Translationsfreiheitsgrade, da die mittlere Energie so niedrig ist, dass atomare Anregungen praktisch nicht vorkommen.

Das Konzept der Freiheitsgrade aus der Mechanik taucht auch in der statistischen Mechanik und Thermodynamik auf: Die Energie eines thermodynamischen Systems verteilt sich gemäß dem Äquipartitionstheorem gleichmäßig auf die einzelnen Freiheitsgrade. Die Zahl der Freiheitsgrade geht in die Entropie ein, die ein Maß für die Zahl der erreichbaren Zustände ist. Thermodynamische Systeme haben generell sehr viele Freiheitsgrade, etwa in der Größenordnung von 10²³, der Größenordnung der Avogadro-Konstanten, da sie üblicherweise Stoffmengen in der Größenordnung eines Mols enthalten. Es können allerdings viele gleichartige Systeme mit jeweils nur wenigen Freiheitsgraden zustande kommen, z. B. 10²³ Atome mit effektiv (s. u.) je drei Freiheitsgraden.

Man kann die innere Energie ${\displaystyle U}$ eines idealen Gases mit ${\displaystyle N}$ Teilchen in Abhängigkeit von der Temperatur ${\displaystyle T}$ und der Anzahl ${\displaystyle f_{U}}$ der Freiheitsgrade eines Gasteilchens angeben:

${\displaystyle U=N\cdot {\frac {f_{U}}{2}}\cdot k_{\mathrm {B} }\cdot T}$

mit der Boltzmann-Konstante ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$.

Hierbei ist wichtig, dass Schwingungen bei der Bestimmung von ${\displaystyle f_{U}}$ doppelt gezählt werden, da sie sowohl kinetische als auch potentielle Energie besitzen (s. u.):

${\displaystyle f_{U}=f_{\mathrm {trans} }+f_{\mathrm {rot} }+2\cdot f_{\mathrm {vib} }}$

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Stoff	Freiheitsgrade
	${\displaystyle f_{\mathrm {trans} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {rot} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {vib} }}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle f_{\mathrm {eff} }}$	${\displaystyle f_{U}}$
Gasmolekül, 1-atomig	3	0	0	3	3	03
Gasmolekül, 2-atomig	3	2	1	6	5	07
Gasmolekül, 3-atomig linear	3	2	4	9	7	13
Gasmolekül, 3-atomig gewinkelt	3	3	3	9	6	12
1 Atom im Festkörper	0	0	3	3		06

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Ein zweiatomiges Molekül wie molekularer Wasserstoff hat – neben den elektronischen Anregungen – sechs Freiheitsgrade: drei der Translation, zwei der Rotation, und einen Schwingungsfreiheitsgrad. Rotation und Schwingung sind quantisiert und bei geringer Gesamtenergie eines Moleküls können Rotations- und Schwingungszustände über dem Grundzustand nicht angeregt werden; man sagt, diese Freiheitsgrade seien „eingefroren“. Rotation wird bereits ab mittleren, Schwingung erst bei höheren Temperaturen angeregt. So verhalten sich die meisten zweiatomigen Gase wie z. B. Wasserstoff, Sauerstoff oder Stickstoff unter Normalbedingungen effektiv so, als hätten die Einzelmoleküle nur fünf Freiheitsgrade, was sich am Adiabatenexponenten ablesen lässt. Bei sehr tiefen Temperaturen haben sie nur drei Freiheitsgrade, bei hohen Temperaturen sind dem System alle Freiheitsgrade zugänglich.

Freiheitsgrade der Zustandsgrößen

Die thermodynamischen Freiheitsgrade der Zustandsgrößen auf makroskopischer Ebene ergeben sich für beliebige Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht über die Gibbssche Phasenregel.^[5]