Gluonenfeld

Mathematisch gesehen ist das Gluonenfeld ein Zusammenhang auf einem Hauptfaserbündel, ähnlich wie es auch das Vektorpotential aus der Elektrodynamik ist. Im Gluonenfeld gibt es jedoch neben den vier Komponenten der vierdimensionalen Raumzeit noch zusätzlich acht Komponenten für die acht Farbladungen der Gluonen, wodurch die resultierenden Felder reichhaltiger an Informationen sind und entsprechend deren Wechselwirkungen wesentlich komplizierter sind.

Aus mathematischer Sicht werden in der Quantenchromodynamik die Gluonenfelder mit Koeffizienten in der achtdimensionalen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ (dritte spezielle unitäre Lie-Algebra) betrachtet, während in der Elektrodynamik die Vektorpotentiale mit Koeffizienten in der eindimensionalen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ (erste unitäre Lie-Algebra) betrachtet werden. Aus physikalischer Sicht gibt es acht verschiedene Gluonen, jedoch nur ein Photon.

Fortan unterscheiden lateinische Indizes ${\displaystyle a,b=0,\ldots ,7}$ die verschiedenen Gluonen und griechische Indizes ${\displaystyle \mu ,\nu =0,\ldots ,3}$ die vier Komponenten ihrer Zustandsvektoren. Zur Beschreibung der acht Gluonen und all ihrer Vierervektoren sind also ${\displaystyle 32}$ glatte Funktionen:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} }$

notwendig. Mit der Einsteinschen Summenkonvention, bei welcher über identische kontravariante (obere) und kovariante (untere) Indizes summiert wird, sowie den Gell-Mann-Matrizen ${\displaystyle T}$ lassen sich nun daraus kombinieren:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }:={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}T_{a}\colon \mathbb {R} ^{3,1}\rightarrow {\mathfrak {su}}(3);}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{a}:={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\mathrm {d} x^{\mu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},\mathbb {R} );}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\mathcal {A}}^{a}T_{a}={\mathcal {A}}_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }={\mathcal {A}}_{\mu }^{a}T_{a}\mathrm {d} x^{\mu }\colon \mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3)).}$

Insbesondere sind also ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{a}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{1,3})}$ gewöhnliche Differentialformen und ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{1,3},{\mathfrak {su}}(3))}$ Lie-Algebrenwertige Differentialformen.

• S. Sarkar; H. Satz; B. Sinha: The Physics of the Quark-Gluon Plasma: Introductory Lectures. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02285-2 (englisch, google.com).
• Keith Ellis: Quantum Chromodynamics. Februar 2005 (englisch, archive.org [PDF]).