Hypograph

Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Der Hypograph der Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ist definiert durch^[1]

${\displaystyle \operatorname {hypo} \,f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} \,:\,\mu \leq f(x)\right\}\subseteq X\times \mathbb {R} \,.}$

Ist der Bildraum der Funktion der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}$, so ist der Hypograph definiert als

${\displaystyle \operatorname {hypo} \,f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\,:\,\mu \preccurlyeq _{K}f(x)\right\}\subseteq X\times \mathbb {R} ^{n}}$.

Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Für Funktionen ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ gilt:

• ${\displaystyle f}$ ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von ${\displaystyle f}$ eine konvexe Menge bildet.
• ${\displaystyle f}$ ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von ${\displaystyle f}$ eine abgeschlossene Menge bildet.
• Ist ${\displaystyle f}$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in ${\displaystyle X}$.

• Epigraph (Mathematik)