Integralsinus

• Im Grenzübergang ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)}$ kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:^[6]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sin} (x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}}$

• Sinus:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

gilt mit der Integralexponentialfunktion ${\displaystyle \mathrm {Ei} }$

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Ei} (\mathrm {i} \ x)-\mathrm {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)+{\frac {\pi }{2}}}$

• Die Entwicklung in eine Taylorreihe an der Stelle 0 liefert die kompakt konvergente Reihe:^[7]

${\displaystyle \mathrm {Si} \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots \quad =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}x^{2k+1}}$

Eng verwandt ist der Integralkosinus ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$, der zusammen mit dem Integralsinus ${\displaystyle \operatorname {Si} (x)}$ in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

${\displaystyle \mathrm {Si} (\pi )=1{,}851937...}$ Wilbraham-Gibbs-Konstante^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{2}t}{t^{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{3}t}{t^{3}}}\,dt={\frac {3}{8}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{4}t}{t^{4}}}\,dt={\frac {1}{3}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{6}t}{t^{6}}}\,dt={\frac {11}{40}}\pi }$

Im Handbuch der mathematischen Funktionen von Milton Abramowitz und Irene Stegun werden weitere Integraldarstellungen für den Integralsinus und den Integralkosinus angegeben, die auf der Exponentialfunktion basieren und sich auf folgende Form bringen lassen:^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \cos(x)-\operatorname {Si} (x)\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \sin(x)-\operatorname {Si} (x)\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)}$

Durch Linearkombination und unter Zuhilfenahme des „trigonometrischen Pythagoras“ folgt daraus:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

• Integralexponentialfunktion
• Integralkosinus

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 231 bis 233
• Horst Nasert: Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.
• Erwin O. Kreyszig (Referent: Alwin [Oswald] Walther; Korreferent: Curt [Otto Walther] Schmieden): Über den allgemeinen Integralsinus ${\displaystyle \mathrm {Si} (z,a)}$. Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

• Eric W. Weisstein: Sine Integral. In: MathWorld (englisch).