Itō-Formel

Sei ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ ein (Standard-)Wiener-Prozess und ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

${\displaystyle h(W_{t})=h(W_{0})+\int _{0}^{t}h'(W_{s})\,{\rm {d}}W_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}h''(W_{s})\,{\rm {d}}s\,.}$

Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch ${\displaystyle Y_{t}=h(W_{t})}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$ definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

${\displaystyle {\rm {d}}Y_{t}=h'(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}+{\frac {1}{2}}h''(W_{t})\,{\rm {d}}t\,.}$

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ heißt Itō-Prozess, falls

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}W_{s}}$

für zwei stochastische Prozesse ${\displaystyle a_{s}}$, ${\displaystyle b_{s}}$ gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

${\displaystyle {\rm {d}}X_{t}=a_{t}\,{\rm {d}}t+b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}$

Ist ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch ${\displaystyle Y_{t}:=h(t,X_{t})}$ definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}Y_{t}&={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})({\rm {d}}X_{t})^{2}\\&=\left({\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,a_{t}+{\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,b_{t}^{2}\right){\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle {\tfrac {\partial h}{\partial t}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial h}{\partial x}}}$ die partiellen Ableitungen der Funktion ${\displaystyle h}$ nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von ${\displaystyle ({\rm {d}}X_{t})^{2}=b_{t}^{2}\,{\rm {d}}t}$ und Zusammenfassen der ${\displaystyle {\rm {d}}t}$- und ${\displaystyle {\rm {d}}W_{t}}$-Terme.

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}=(X_{t}^{1},\dotsc ,X_{t}^{d})_{t\geq 0}}$ ein ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$-wertiges Semimartingal und sei ${\displaystyle F\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )}$. Dann ist ${\displaystyle (F(X_{t}))_{t\geq 0}}$ wieder ein Semimartingal und es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{t})-F(X_{0})=&\sum _{j=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}^{c}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(F(X_{s})-F(X_{s-})-\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Hierbei bedeutet:

• ${\displaystyle \textstyle X_{s-}=\lim _{u\uparrow s}X_{u}}$ der linksseitige Grenzwert,
• das Integrationsgebiet ${\displaystyle 1_{[0+,t]}}$ bedeutet ${\displaystyle 1_{(0,t]}}$. Ein Semimartingal kann bei ${\displaystyle X_{0}}$ einen Sprung haben, das heißt ${\displaystyle X_{0}\neq X_{0+}}$ und somit wird sichergestellt, dass nur über ${\displaystyle (0,t]}$ integriert wird und der Anfangswert ${\displaystyle F(X_{0})}$ wird deshalb nicht über das Integral gedeckt.
• ${\displaystyle \Delta X_{s}^{j}=X_{s}^{j}-X_{s-}^{j}}$ der zugehörige Sprungprozess.
• Mit ${\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}}$ wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten ${\displaystyle X^{j}}$ und ${\displaystyle X^{k}}$ bezeichnet.

Falls ${\displaystyle X}$ ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte große Klammer nach dem Plus und es gilt ${\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}=[X^{j},X^{k}]}$.

Hans Föllmer erweiterte die Formel von Itō auf (deterministische) Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation.^[4]

Sei ${\displaystyle f\in C^{2}}$ eine reellwertige Funktion und ${\displaystyle x:{[0,\infty [}\to \mathbb {R} }$ eine Càdlàg-Funktion mit endlicher quadratischer Variation. Dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})&=f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}$

Föllmers Definition von endlicher quadratischer Variation benötigt eine schwer nachweisbare Bedingung an die Lebesgue-Zerlegung eines bestimmt gewählten Radonmaßes.^[5] So müssen nämlich die Atome des Maßes eindeutig den Sprüngen der Funktion entsprechen. Eine alternative Definition der pfadweisen quadratischen Variation führt Vladimir Vovk ein, die unter gewissen zusätzlichen Bedingungen der Föllmerschen Definition gleicht. Henry Chiu und Rama Cont hingegen nutzen Eigenschaften der Skorochod-Topologie auf dem Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ aller Càdlàg-Funktionen aus, um der Bedingung an die Lebesgue-Zerlegung auszuweichen. Dadurch lässt sich die pfadweise quadratische Variation auch im mehrdimensionalen Rahmen definieren und überdies die Lebesgue-Zerlegung als Folgerung erhalten.^[6]

• Für ${\displaystyle Y_{t}=\sin(W_{t})}$ gilt ${\displaystyle {\rm {d}}Y_{t}=\cos(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sin(W_{t})\,{\rm {d}}t}$.

• Mit Hilfe der Formel kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung ${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}}$eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes${\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}}$ ist. Hierzu wählt man ${\displaystyle X_{t}=W_{t}}$, also ${\displaystyle a_{t}=0,\;b_{t}=1}$. Dann ergibt die Formel mit ${\displaystyle h(t,x)=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma x}}$:

${\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=\left[\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}t+\left[\sigma S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}W_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}$

• Ist ${\displaystyle (\mathbf {W} _{t})_{t\geq 0}}$ ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Wiener-Prozess und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für ${\displaystyle Y_{t}=F(\mathbf {W} _{t})}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\nabla F(\mathbf {W} _{t})^{\mathsf {T}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {W} _{t}+{\frac {1}{2}}\Delta F(\mathbf {W} _{t})\,\mathrm {d} t}$,

wobei ${\displaystyle \nabla F}$ den Gradienten und ${\displaystyle \Delta F}$ den Laplace-Operator von ${\displaystyle F}$ bezeichnen.

Es gibt verschiedene Varianten von Itō-Formeln für unendlich-dimensionale Räume (z. B. Pardoux^[7], Gyöngy-Krylow^[8], Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis^[9]).

• Euler-Maruyama-Verfahren

• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.