Jacobis Formel

Das charakteristische Polynom einer ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle M}$ lautet

${\displaystyle \operatorname {det} (\lambda E-M)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$

wobei ${\displaystyle E}$ die Einheitsmatrix, ${\displaystyle c_{n}=1}$ und ${\displaystyle c_{n-1}=-\operatorname {spur} (M)}$ ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei ${\displaystyle \operatorname {det} (A)\neq 0}$, sodass ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, und ${\displaystyle \lambda =\eta ^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {det} (A+\eta H)&=\operatorname {det} \left(\eta A\left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\right)=\eta ^{n}\operatorname {det} (A)\operatorname {det} \left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\\&=\eta ^{n}\operatorname {det} (A)\left(\eta ^{-n}+\eta ^{1-n}\operatorname {spur} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2-n})\right)\\&=\operatorname {det} (A)\left(1+\eta \operatorname {spur} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2})\right).\end{aligned}}}$

worin das Landau-Symbol ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\eta ^{2})}$ Terme zusammenfasst, die ${\displaystyle \eta }$ in mindestens zweiter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

${\displaystyle D_{H}\operatorname {det} (A):=\lim _{\eta \to 0}{\frac {\operatorname {det} (A+\eta \,H)-\operatorname {det} (A)}{\eta }}=\operatorname {det} (A)\,\operatorname {spur} (A^{-1}H)}$

und nach der Kettenregel die Ableitung

${\displaystyle \partial _{t}\operatorname {det} (A)=\operatorname {det} (A)\operatorname {spur} (A^{-1}\partial _{t}A)=\operatorname {spur} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle }$

Die Teilmenge der invertierbaren Matrizen aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist eine dichte Teilmenge des Matrizenraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Die Determinante des Deformationsgradienten ${\displaystyle \mathbf {F} }$ gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ und in seinem aktuellen deformierten Zustand ${\displaystyle \mathrm {d} v}$:

${\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {F} )={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} V}}>0}$

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\operatorname {det} (\mathbf {F} )&=\langle \operatorname {cof} (\mathbf {F} ),\partial _{t}\mathbf {F} \rangle \\&=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\left\langle \left(\mathbf {F} ^{-1}\right)^{T},\partial _{t}\mathbf {F} \right\rangle \\&=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\operatorname {spur} \left(\mathbf {F} ^{-1}\partial _{t}\mathbf {F} \right)\\&=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\operatorname {spur} \left(\left(\partial _{t}\mathbf {F} \right)\mathbf {F} ^{-1}\right)\\&=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\operatorname {spur} (\mathbf {l} )\\&=\operatorname {det} (\mathbf {F} )\operatorname {div} ({\vec {v}})\end{aligned}}}$

Wobei ${\displaystyle \mathbf {l} =\left(\partial _{t}\mathbf {F} \right)\mathbf {F} ^{-1}}$ den Geschwindigkeitsgradient bezeichnet, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {v}})}$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist. Dieses Ergebnis ist als eulersche Formel bekannt.^[2]