Komplexe Differentialform

Sei ${\displaystyle M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension ${\displaystyle n}$. Eine komplexe Differentialform vom Grad ${\displaystyle r}$ auf ${\displaystyle M}$ ist eine glatte Differentialform mit komplexen Koeffizienten, also ein glatter Schnitt des komplexifizierten Bündels ${\displaystyle \Lambda ^{r}(T^{*}M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Lambda ^{r}(T^{*}M)}$ die ${\displaystyle r}$-te äußeren Potenz des Kotangentialbündels ${\displaystyle T^{*}M}$. Der Raum der komplexen Differentialformen vom Grad ${\displaystyle r}$ wird mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{r}(M)}$ notiert.^[1]

Sei ${\displaystyle M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension ${\displaystyle n}$. Wähle

${\displaystyle \{\mathrm {d} z^{j}=dx^{j}+idy^{j},\ \mathrm {d} {\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j};\ 1\leq j\leq n\}}$

als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Jede komplexe Differentialform vom Grad 1 lässt sich lokal in der Form

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}f_{j}\mathrm {d} z^{j}+g_{j}\mathrm {d} {\overline {z}}^{j}}$

darstellen, wobei ${\displaystyle f_{j}}$ glatte komplexwertige Funktionen sind. Die Räume, in denen nur Basisvektoren des komplexifizierten Kotangentialraums der Form ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} z^{j}}$ vorkommen, werden als (1,0)-Formen und die Menge der (1,0)-Formen wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1,0}(M)}$ bezeichnet. Analog dazu ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0,1}(M)}$ der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} {\overline {z}}^{j}}$ haben. Aufgrund der Holomorphie der Koordinatenwechsel bleiben diese Räume unter Koordinatentransformationen erhalten. Aus diesem Grund sind die Räume ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1,0}(M)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0,1}(M)}$ komplexe Vektorbündel über ${\displaystyle M}$.

Sei ${\displaystyle M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension ${\displaystyle n}$. Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der ${\displaystyle (p,q)}$-Formen durch

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{p,q}(M):=\bigwedge _{j=1}^{p}{\mathcal {A}}^{1,0}(M)\wedge \bigwedge _{j=1}^{q}{\mathcal {A}}^{0,1}(M)}$

definieren. Weiter definiert man noch den Raum ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{r}(M)}$ als die direkte Summe

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{r}(M):=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q}(M)}$

der ${\displaystyle (p,q)}$-Formen mit ${\displaystyle r=p+q}$.^[2] Diese Zerlegung ist eine grundlegende Eigenschaft in der komplexen Geometrie und bildet die Grundlage der Dolbeault-Operatoren.

Der Raum ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}^{r}(M)}$ ist isomorph zur direkten Summe ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{r}(M)\cong {\mathcal {A}}^{r}(M)\oplus i{\mathcal {A}}^{r}(M)}$ der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für ${\displaystyle p+q=r}$ eine Projektion

${\displaystyle \pi _{p,q}\colon {\mathcal {E}}^{r}(M)\to {\mathcal {A}}^{p,q}(M)}$

definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad ${\displaystyle r}$ ihre ${\displaystyle (p,q)}$-Zerlegung zuordnet.

Eine ${\displaystyle (p,q)}$-Form hat also in lokalen Koordinaten ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die eindeutige Darstellung

${\displaystyle \omega =\sum _{\stackrel {1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n}{1\leq j_{1}<\ldots <j_{q}\leq n}}f_{i_{1},\ldots i_{p},j_{1},\ldots j_{q}}\mathrm {d} z_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} z_{i_{p}}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{q}}}$.

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise

${\displaystyle \sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z_{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{J}:=\sum _{\begin{smallmatrix}1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n\\1\leq j_{1}<\ldots <j_{q}\leq n\end{smallmatrix}}f_{i_{1},\ldots i_{p},j_{1},\ldots j_{q}}\mathrm {d} z_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} z_{i_{p}}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{q}}}$

zu vereinbaren.

Definition

Die äußere Ableitung

${\displaystyle \mathrm {d}$ :{\mathcal {E}}^{r}(M)\to {\mathcal {E}}^{r+1}(M),}

was gleichbedeutend ist mit

${\displaystyle \mathrm {d}$ :\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to \bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p+1,q}(M)\oplus \bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q+1}(M),}

kann in ${\displaystyle \mathrm {d} =\partial +{\overline {\partial }}}$ aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren

${\displaystyle \partial$ :{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to {\mathcal {A}}^{p+1,q}(M)}

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}:{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(M)}$

sind definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial &:=\pi _{p+1,q}\circ \mathrm {d} \\{\overline {\partial }}&:=\pi _{p,q+1}\circ \mathrm {d} .\end{aligned}}}$

In lokalen Koordinaten bedeutet dies

${\displaystyle \partial \left(\sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}\right)=\sum _{I,J}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{I,J}}{\partial z^{l}}}\mathrm {d} z^{l}\wedge \mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}\left(\sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}\right)=\sum _{I,J}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{I,J}}{\partial {\overline {z}}^{l}}}\mathrm {d} {\overline {z}}^{l}\wedge \mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}.}$

Dabei sind ${\displaystyle \partial }$ und ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.^[3]

Eigenschaften

• Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}^{p,q}}$ und ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {A}}^{r,s}}$, dann gilt^[4]

${\displaystyle \partial (\omega \wedge \nu )=\partial \omega \wedge \nu +(-1)^{p+q}\,\omega \wedge \partial \nu }$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}(\omega \wedge \nu )={\overline {\partial }}\omega \wedge \nu +(-1)^{p+q}\,\omega \wedge {\overline {\partial }}\nu .}$

• Aus der Identität

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}=(\partial +{\overline {\partial }})^{2}=\partial ^{2}+({\overline {\partial }}\partial +\partial {\overline {\partial }})+{\overline {\partial }}^{2}}$

folgt ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$, ${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}\partial =0}$ und ${\displaystyle {\overline {\partial }}^{2}=0}$, denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren ${\displaystyle \partial }$ und ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.^[5]

• Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann’schen Metrik ${\displaystyle g}$, so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator ${\displaystyle {\overline {\partial }}^{*}}$ bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator ${\displaystyle \Delta$ :={\overline {\partial }}\,{\overline {\partial }}^{*}+{\overline {\partial }}^{*}{\overline {\partial }}} ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.

Erfüllt eine Differentialform ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}^{p,0}(M)}$ die Gleichung ${\displaystyle {\overline {\partial }}\omega =0}$, so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch

${\displaystyle \sum _{I}f_{I}\mathrm {d} z^{I}}$

darstellen, wobei ${\displaystyle f_{I}}$ holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen ${\displaystyle p}$-Formen auf ${\displaystyle M}$ wird mit ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ notiert.

• Eric W. Weisstein: Complex Form. In: MathWorld (englisch).
• Raymond O. Wells: Differential analysis on complex manifolds. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1973, ISBN 0-13-211508-5.
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.