Kondo-Modell

Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden Hamiltonian beschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{Kondo}}&=H_{0}+H_{J}\\H_{0}&=\sum _{{\vec {k}},\sigma }\epsilon ({\vec {k}})c_{{\vec {k}},\sigma }^{\dagger }c_{{\vec {k}},\sigma }\\H_{J}&=-{\frac {J}{N}}\sum _{n{\vec {k}}{\vec {k}}'}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}'){\vec {R}}_{n}){\vec {s}}_{\vec {k}}{\vec {S}}_{n}\end{aligned}}}$

Hierbei beschreibt ${\displaystyle H_{0}}$ die Leitungsbandelektronen im s-Band mit Dispersions-Relation ${\displaystyle \epsilon ({\vec {k}})}$. ${\displaystyle H_{J}}$ beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins ${\displaystyle {\vec {S}}_{n}}$ am Platz ${\displaystyle {\vec {R}}_{n}}$ mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins ${\displaystyle {\vec {s}}_{\vec {k}}}$ der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von ${\displaystyle J}$ ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{Kondo}}(T)\propto J/\epsilon _{f}\log T\end{aligned}}}$

Hierbei ist ${\displaystyle \epsilon _{f}}$ die Fermi-Energie. Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für ${\displaystyle T=0}$, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.