Kovarianzoperator

Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:E'\to (E')^{*}}$ von ${\displaystyle \mu }$ ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{E}(\varphi (x)-\mathbb {E} _{\mu }[\varphi ])(\xi (x)-\mathbb {E} _{\mu }[\xi ])\mu (\mathrm {d} x)}$

für ${\displaystyle \varphi ,\xi \in E^{'}}$ wobei ${\displaystyle \mathbb {E} _{\mu }}$ den Erwartungswert von ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mu }[\varphi ]=\int _{E}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$^[1][2]

Das heißt also ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )}$ ist ein Element des Bidualraums, das heißt ein Funktional auf ${\displaystyle E'}$, und es gilt

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }(g),f\rangle =\langle g,\operatorname {C} _{\mu }(f)\rangle =\operatorname {C} _{\mu }(f)(g).}$

Der Operator induziert eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:E'\times E'\to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$, welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Erläuterungen

• Seien ${\displaystyle a_{\mu }}$ und ${\displaystyle \varphi }$ beschränkt. Wenn ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für ${\displaystyle \varphi \in E'}$, dass ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ein ${\displaystyle h\in E}$ sowie ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$ für ein ${\displaystyle m\in E}$, somit

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{E}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$

für alle ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in E}$.^[3]

• Der Kovarianzoperator ist ein reproduzierbarer Operator und induziert für ein gaußsches Maß einen Cameron-Martin-Raum.

Der endliche Fall Rⁿ

Sei ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle (E')^{*}=\mathbb {R} ^{n}}$, da der Raum reflexiv ist. Dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }}$ die Kovarianzmatrix.

Gaußsches Maß

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$, dann ist seine Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)=\int _{E}e^{if(x)}\mu (\mathrm {d} x)=e^{ia_{\mu }(f)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cov} _{\mu }(f,f)},\quad f\in E}$