Körperturm

Ein Körperturm der Höhe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist eine Folge von Körpererweiterungen

${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}}$.

Für jedes ${\displaystyle j\in \{1,\ldots n\}}$ soll ${\displaystyle K_{j-1}\subset K_{j}}$ eine Körpererweiterung sein. Trotz des verwendeten Inklusionssymbols ist das mehr als eine Teilmengenbeziehung, die Verknüpfungen des Körpers ${\displaystyle K_{j-1}}$ sollen die Einschränkungen der Verknüpfungen des Körpers ${\displaystyle K_{j}}$ sein. Auch bei unendlichen Folgen solcher Körpererweiterungen spricht man von Körpertürmen.

• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ ist ein Körperturm.
• Jede Körpererweiterung ${\displaystyle K\subset L}$ ist ein Körperturm der Höhe 1. Ist ${\displaystyle M}$ ein Zwischenkörper, so ist ${\displaystyle K\subset M\subset L}$ ein Körperturm der Höhe 2.
• Ist ${\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ der Körper der rationalen Funktionen in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten, so ist

${\displaystyle K\subset K(X_{1})\subset K(X_{1},X_{2})\subset \ldots \subset K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

ein Körperturm. Dieses Beispiel lässt sich zu einem unendlichen Körperturm fortsetzen.

• Eine Körpererweiterung ${\displaystyle K\subset L}$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}=L}$

gibt, in dem jede Erweiterung ${\displaystyle K_{j-1}\subset K_{j}}$ durch Adjunktion einer ${\displaystyle m_{j}}$-ten Wurzel entsteht, das heißt zu jedem ${\displaystyle j\in \{1,\ldots n\}}$ gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle m_{j}}$ und ein Element ${\displaystyle b_{j}\in K_{j}}$ mit ${\displaystyle b_{j}^{m_{j}}\in K_{j-1}}$ und es ist ${\displaystyle K_{j}=K_{j-1}(b_{j})}$.^[1] Solche Radikalerweiterungen spielen eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Frage, für welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Formeln aus Körperoperationen und Wurzelziehen in den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden können.

• Der Gradsatz verallgemeinert sich wie folgt auf Körpertürme:

Ist ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}}$ ein Körperturm aus endlichen Körpererweiterungen, so gilt für die Erweiterungsgrade:^[2]

${\displaystyle [K_{n}\colon K_{0}]=\prod _{j=1}^{n}[K_{j}\colon K_{j-1}]}$.

• Gibt es einen Körperturm

${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}\subset \mathbb {C} }$,

und gilt ${\displaystyle [K_{j}\colon K_{j-1}]=2}$ für alle ${\displaystyle j\in \{1,\ldots n\}}$, so sind alle Punkte der komplexen Ebene, die in einem der ${\displaystyle K_{j}}$ liegen, mit Zirkel und Lineal konstruierbar.^[3][4] Die Elemente der Körper heißen konstruierbare Zahlen.