Longchamps-Punkt

• Der Longchamps-Punkt liegt auf der eulerschen Geraden.^[2]
• Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden, nämlich der Soddy-Geraden.^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Longchamps-Punkts (${\displaystyle X_{20}}$) sind

${\displaystyle (\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma )\,:\,(\cos \beta -\cos \gamma \cos \alpha )\,:\,(\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta ).}$^[2]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\displaystyle (\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha )\,:\,(\tan \gamma +\tan \alpha -\tan \beta )\,:\,(\tan \alpha +\tan \beta -\tan \gamma )}$ oder

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$ mit ${\displaystyle f(a,b,c)=2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4}.}$^[2]

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}$ die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel.

• A. Vandeghen: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 (JSTOR:2311750)

• Eric W. Weisstein: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch).