Markoff-Zahl

Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ der Größe nach geordnet mit ${\displaystyle x\leq y\leq z}$ angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel ${\displaystyle (1,1,1)}$ und ${\displaystyle (1,1,2)}$ bestehen die Lösungstripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element ${\displaystyle z}$ eines Tripels schon das Markoff-Tripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ bestimmt.^[3]

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle f_{i}}$ mit ungeradem ${\displaystyle i}$. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten Pell-Zahlen ${\displaystyle p_{i}}$ mit ungeradem ${\displaystyle i}$.^[4]

Ist eine Markoff-Zahl ${\displaystyle m}$ ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz ${\displaystyle m\equiv 1\ mod\ 4}$ und wenn sie gerade ist, dann gilt ${\displaystyle m\equiv 2\ mod\ 32}$.^[5] Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise teilerfremd.

Man kann aus einer Lösung ${\displaystyle (x,y,z)}$ der Markoff-Gleichung mittels ${\displaystyle (x,y,z)\to (x,y,3xy-z)}$ weitere Lösungen erzeugen.^[6] Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle z}$ können unterschiedliche Tripel ${\displaystyle (x,y,3xy-z)}$ erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel ${\displaystyle (1,5,13)}$, dann bekommt man die drei benachbarten Tripel ${\displaystyle (5,13,194),(1,13,34)}$ und ${\displaystyle (1,2,5)}$ im Markoff-Baum, wenn man ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle 1,5}$ oder ${\displaystyle 13}$ setzt. Wendet man ${\displaystyle (x,y,z)\to (x,y,3xy-z)}$ zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

Beginnt man mit ${\displaystyle (1,1,2)}$ und vertauscht fortwährend ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$ erzeugt man die Pell-Lösungen.

Im Jahr 1982 bewies Don Zagier eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die ${\displaystyle n}$-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}}$ mit ${\displaystyle C=2,3523418721\ldots }$

(hier wird die O-Notation von E. Landau verwendet).^[7][8] Der Fehler ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$ ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. ${\displaystyle 6\cdot 10^{31}}$.^[9]

• Thomas Cusick, Mari Flahive: The Markoff and Lagrange spectra. In: Math. Surveys and Monographs, 30, 1989, AMS, Providence
• Serge Perrine: La théorie de Markoff et ses développements. Tessier & Ashpool, 2002, arxiv:math-ph/0307032
• Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers. In: The Mathematical Intelligencer, 7 (3), 1985, S. 20–29.
• Eric W. Weisstein: Markov number. In: MathWorld (englisch).