Bauer, der für den LK Slovan Karlovy Vary startet, nahm von 2020 bis 2024 an U18 und U20-Rennen im Alpencup teil und belegte bei den Junioren-Skiweltmeisterschaften 2022 in Lygna den 51. Platz im Sprint, den 44. Rang über 10 km klassisch sowie den 11. Platz mit der Staffel. Zudem lief er beim Europäischen Olympischen Winter-Jugendfestival im März 2022 in Vuokatti auf den 23. Platz im Sprint, auf den 19. Rang über 10 km Freistil und auf den zehnten Platz über 7,5 km klassisch. Im folgenden Jahr kam er bei den Junioren-Skiweltmeisterschaften in Whistler auf den 36. Platz über 10 km Freistil und auf den 19. Rang im Sprint. In der Saison 2023/24 nahm er in Falun erstmals am Skilanglauf-Weltcup teil, wobei er drei Platzierungen außerhalb der Punkteränge erringen konnte und belegte bei den Junioren-Skiweltmeisterschaften 2024 in Planica den 25. Platz im 20-km-Massenstartrennen sowie den 12. Rang im Sprint. In der folgenden Saison kam er bei 14 Teilnahmen im Weltcup siebenmal in die Punkteränge und belegte beim Saisonhöhepunkt, den Nordischen Skiweltmeisterschaften 2025 in Trondheim, den 47. Platz im Skiathlon, den 30. Rang über 10 km klassisch sowie den 11. Platz mit der Staffel. Zudem startete er in Oberwiesenthal erstmals im FESA-Cup und errang dort den zweiten Platz im Sprint. In der Saison 2025/26 lief er in Oberhof mit dem 20. Platz über 10 km klassisch erstmals im Weltcup in die Top-20. Sein Vater Lukáš Bauer war ebenfalls als Skilangläufer aktiv.
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