Erste internationale Erfahrungen sammelte Muamer Barsham im Jahr 2011, als er bei den Jugendweltmeisterschaften nahe Lille mit übersprungenen 2,00 m den zehnten Platz belegte. Anschließend belegte er bei den Arabischen Meisterschaften in al-Ain mit 2,05 m den siebten Platz. Im Jahr darauf belegte er bei den Hallenasienmeisterschaften in Hangzhou mit 2,10 m den sechsten Platz und im Juni siegte er mit 2,16 m bei den Juniorenasienmeisterschaften in Colombo, ehe er bei den Juniorenweltmeisterschaften in Barcelona mit 2,14 m in der Qualifikationsrunde ausschied. Im Dezember wurde er bei den Westasienmeisterschaften in Dubai mit 2,15 m Fünfter. 2013 belegte er bei den Arabischen Meisterschaften in Doha mit 2,15 m den vierten Platz und anschließend blieb er bei den Asienmeisterschaften in Pune ohne eine Höhe. Im September belegte er bei den Spielen der Frankophonie in Nizza mit 2,15 m den siebten Platz und gelangte dann bei den Islamic Solidarity Games in Palembang mit 2,16 m auf Rang vier. Im Jahr darauf belegte er bei den Hallenasienmeisterschaften in Hangzhou mit 2,10 m den siebten Platz und gewann bei den Asienspielen in Incheon mit 2,25 m die Bronzemedaille hinter seinem Bruder Mutaz Essa Barshim und Zhang Guowei aus der Volksrepublik China. 2015 gewann er bei den Arabischen Meisterschaften in Manama mit 2,13 m die Bronzemedaille hinter seinem Bruder Barshim und Mohamed Younis Idris aus Sudan. Anschließend gelangte er bei den Asienmeisterschaften in Wuhan mit 2,11 m den elften Platz und belegte bei den Militärweltspielen in Mungyeong mit 2,20 m den neunten Platz. Im Jahr darauf wurde er bei den Hallenasienmeisterschaften in Doha mit 2,10 m Zehnter und 2017 beendete er seine aktive sportliche Karriere im Alter von 23 Jahren.
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