Panjer-Verteilung

Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, für die es Konstanten ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a+b\geq 0}$ gibt, so dass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte ${\displaystyle p_{k}=P(X=k)}$ gilt:

${\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.}$

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{0}}$ ergibt sich aus der Normierungsbedingung

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.}$

Eine Folge ${\displaystyle (p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.^[1]

Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch

${\displaystyle E(X)={\frac {a+b}{1-a}},~~\operatorname {Var} (X)={\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}.}$

Es ist

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}},}$

woraus folgt, dass

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)>E(X)~~\iff a>0.}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=E(X)~~\iff a=0.}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)<E(X)~~\iff a<0.}$

Weitere Informationen , ...

Verteilung	${\displaystyle P[N=k]}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle p_{0}}$	${\displaystyle W_{N}(x)}$	${\displaystyle E[N]}$	${\displaystyle \operatorname {Var} (N)}$
Binomial	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p-1}}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}}$	${\displaystyle (px+(1-p))^{n}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
Poisson	${\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{-\lambda }}$	${\displaystyle e^{\lambda (s-1)}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$
Negativ Binomial	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}$	${\displaystyle 1-p}$	${\displaystyle (1-p)(r-1)}$	${\displaystyle p^{r}}$	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$

Schließen

Mit ${\displaystyle a=0,~b=\lambda ,~p_{0}=e^{-\lambda }}$ erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=E(X)}$.

Mit ${\displaystyle a=-{\frac {p}{1-p}},~b=(n+1)\cdot {\frac {p}{1-p}},~p_{0}=(1-p)^{n}}$ erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)<E(X)}$.

Mit ${\displaystyle a=1-p,~b=(r-1)\cdot (1-p),~p_{0}=p^{r}}$ erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)>E(X)}$.

• Panjer-Algorithmus

• Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X.