Retardiertes Potential

Mathematisch ist das Potential ${\displaystyle \,u(t,\mathbf {x} )}$ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=\Box u(t,\mathbf {x} )=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})}$,

wobei ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ für den Laplace-Operator, ${\displaystyle \Box }$ für den D’Alembert-Operator, ${\displaystyle c}$ für die Wellengeschwindigkeit und auf der rechten Seite ${\displaystyle \,v(t,\mathbf {x} )}$ für einen Quellenterm stehen.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\!\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} }$

heißt retardiertes Potential, weil die Funktion ${\displaystyle v}$ nicht zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ genommen wird, sondern zu einem früheren Zeitpunkt. Nimmt man für die Wellengeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit an, so hängt diese Lösung am Ort ${\displaystyle \mathbf {x} }$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ nur von der Inhomogenität ${\displaystyle v}$ auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\!\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} }$

heißt entsprechend avanciertes Potential, weil die Funktion ${\displaystyle v}$ nicht zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ genommen wird, sondern zu einem späteren Zeitpunkt. Dies beschreibt zum Beispiel eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

In der Elektrodynamik müssen retardierte Potentiale zum Beispiel in Form der Liénard-Wiechert-Potentiale bei der Erzeugung von Synchrotronstrahlung berücksichtigt werden.^[2]

In der Gravitation gibt es Anwendungsbeispiele zur Berechnung von Abweichungen bei Umlaufbahnen von Satelliten^[3], Monden^[4] oder Planeten.^[5]

Laut neueren Arbeiten^[6] liefert die Berücksichtigung der retardierten Gravitationspotenziale der sich ändernden Masseverteilungen in Galaxientypen aller Art eine gute Übereinstimmung mit den beobachteten Rotationskurven. Dadurch könnte das Verhalten von Galaxien erklärt werden, ohne hypothetische Dunkle Materie berücksichtigen oder eine modifizierte Newtonsche Dynamik annehmen zu müssen.

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18