SO(10)

Es gibt eine kanonische Einbettung ${\displaystyle \operatorname {SU} (5)\hookrightarrow \operatorname {SO} (10)}$ aus der Eichgruppe des Georgi-Glashow-Modells und eine kanonische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {R} }\cong \operatorname {Spin} (6)\times \operatorname {Spin} (4)\rightarrow \operatorname {Spin} (10)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (10)}$ aus der Eichgruppe des Pati-Salam-Modells. Tatsächlich faktorisiert auch die vordere Einbettung über die Spin-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (10)}$. Es gibt sogar ganz allgemein eine Einbettung ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)}$ und diese faktorisiert über die doppelte Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (2n)}$, also hebt sich zu einer Abbildung ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin} (2n)}$.^[1] Solche Hebungen existieren, wenn die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden, also die Kompositionen ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)\xrightarrow {w_{1}} K(\mathbb {Z} _{2},1)}$ und ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)\xrightarrow {w_{2}} K(\mathbb {Z} _{2},2)}$ in die entsprechenden Eilenberg-MacLane-Räume nullhomotop sind. Im hinteren Fall ergibt sich die zweite Stiefel-Whitney-Klasse als Reduktion der ersten Chern-Klasse, also durch die homotope Komposition ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\xrightarrow {c_{1}} K(\mathbb {Z} ,2)\xrightarrow {\operatorname {mod} 2} K(\mathbb {Z} _{2},2)}$. Beides ist tatsächlich garantiert, da die speziellen Gruppen verwendet werden, denn beide Abbildungen faktorisieren über die Determinanten ${\displaystyle \det \colon \operatorname {SO} (2n)\rightarrow \{1\}}$ und ${\displaystyle \det \colon \operatorname {SU} (n)\rightarrow \{1\}}$. Anders ausgedrückt erhält das reelle Determinantenbündel die erste Stiefel-Whitney-Klasse und das komplexe Determinantenbündel die erste Chern-Klasse. Als Folge sind tauchen statt der speziell orthogonalen Gruppen auch die Spin-Gruppen in großen vereinheitlichen Theorien auf, insbesondere neben ${\displaystyle \operatorname {Spin} (10)}$ auch ${\displaystyle \operatorname {Spin} (11)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Spin} (12)}$. Als Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {Spin} (10)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {SO} (10)}$ gilt zudem:^[2]

${\displaystyle (\operatorname {SU} (3)_{\mathrm {C} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {U} (1)_{\mathrm {Y} })/\mathbb {Z} _{6}\cong \operatorname {SU} (5)\cap (\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {Spin} (6))/\mathbb {Z} _{2};}$

${\displaystyle (\operatorname {SU} (3)_{\mathrm {C} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {U} (1)_{\mathrm {Y} })/\mathbb {Z} _{6}\cong \operatorname {SU} (5)\cap (\operatorname {SO} (4)\times \operatorname {SO} (6)).}$

Dabei steht C für die Farbladung (englisch color), L für „links“ und Y für die Hyperladung. (Für die Erklärung von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ siehe Georgi-Glashow-Modell.)

• John Baez und John Huerta: The Algebra of Grand Unified Theories. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 47. Jahrgang, Nr. 3, 2010, S. 483–552, doi:10.1090/S0273-0979-10-01294-2, arxiv:0904.1556 (englisch).