Schnittform

Die Schnittform ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine wichtige symmetrische unimodulare Bilinearform spezieller topologischer und glatter Mannigfaltigkeiten. Durch zahlreiche starke Resultate wie etwa das Donaldson-Theorem oder die Klassifikation von Friedmann ist die Schnittform insbesondere von entscheidender Bedeutung beim Studium von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten).

Motivation

Für einen topologischen Raum lassen sich alle dessen Kohomologiegruppen zusammen mit dem Cup-Produkt zum Kohomologiering kombinieren, welcher wichtige Informationen enthält. Eine analoge Ringstruktur für Homologiegruppen gibt es nicht. Für eine einfach zusammenhängende geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit $M$ gilt mit dem universellen Koeffizientensatz und dem Hurewicz-Theorem:

H^{1}(M,\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\pi _{1}^{\mathrm {ab} }(M),\mathbb {Z} )\cong 1.

Durch Poincaré-Dualität gilt zudem:

H^{3}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{1}(M,\mathbb {Z} )\cong \pi _{1}^{\mathrm {ab} }(M)\cong 1.

Da $H^{0}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ und $H^{4}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ keine genaueren Informationen über die Mannigfaltigkeiten enthalten, steckt sämtliche Information über den Kohomologiering bereits im Cup-Produkt auf $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , dessen Rang individuell von der Mannigfaltigkeit abhängt. Torsionsklassen gibt es jedoch keine, also ist die Kohomologiegruppe frei, da erneut mit dem universellen Koeffizientensatz:

H^{2}(M,\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (H_{2}(M,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} ).

Definition

Für die Schnittform gibt es verschiedene Definitionen durch die Benutzung verschiedener Darstellungen von Kohomologieklassen. Diese sind entweder als singuläre Kohomologieklassen dargestellt durch Kozykel, de Rham-Kohomologieklassen dargestellt durch geschlossene Differentialformen oder eingebettete Teilflächen in vier Dimensionen. Alle ergeben dabei äquivalente Beschreibungen der gleichen Form, wenn die Beschreibung durch Differentialformen von reellen auf ganze Zahlen reduziert wird.

Definition als Kronecker-Paarung eines Cup-Produktes

Für eine geschlossene orientierbare $4n$ -Mannigfaltigkeit $M$ mit Fundamentalklasse $[M]\in H_{4n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ (wofür die Orientierung benötigt wird) lässt sich die Schnittform mithilfe des Cup-Produktes und der Kronecker-Paarung definieren als:^[1]

Q_{M}\colon H^{2n}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2n}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} ,(a,b)\mapsto \langle a\smile b,[M]\rangle .

Da gezeigt werden kann, dass die Schnittform schon bei Verwendung einer Torsionsklasse verschwindet (welche wie oben beschrieben aber im einfach zusammenhängenden Fall sowieso nicht existieren), reduziert sich die Schnittform wohldefiniert auf $\mathbb {Z} ^{b_{2n}(M)}\cong H^{2n}(M,\mathbb {Z} )/\operatorname {Tor} (H^{2n}(M,\mathbb {Z} ))$ mit der Betti-Zahl $b_{2n}(M)=\operatorname {rk} H^{2n}(M,\mathbb {Z} )$ . Dadurch kann zudem eine $\mathbb {Z}$ -Basis $\{x_{1},\ldots ,x_{b_{2n}(M)}\}\in H^{2n}(M,\mathbb {Z} )$ gewählt werden und die Schnittform als Matrix $\left(Q_{M}(x_{i},x_{j})\right)_{i,j=1}^{b_{2n}(M)}$ dargestellt werden.

Anhand der obigen Abbildung mit doppelter Verwendung der mittleren Kohomologiegruppe ist klar, dass die Dimension der Mannigfaltigkeit für deren Existenz gerade sein muss. Jedoch muss die mittlere Kohomologiegruppe selbst ebenfalls geraden Grad haben, da der oben definierte Ausdruck andernfalls antisymmetrisch ist und daher auf der Diagonale immer verschwindet.

Definition als Integral eines Dachproduktes

Für eine geschlossene orientierbare $4n$ -Mannigfaltigkeit $M$ lässt sich die Schnittform mithilfe des Dachproduktes und der Integration von Differentialformen definieren als:^[1]

Q_{M}\colon H_{\mathrm {dR} }^{2n}(M)\times H_{\mathrm {dR} }^{2n}(M)\rightarrow \mathbb {R} ,(\alpha ,\beta )\mapsto \int _{M}\alpha \wedge \beta .

Um zu zeigen, dass dieser Ausdruck wohldefiniert ist, ist der Satz von Stokes notwendig (wofür die Randlosigkeit aus der Geschlossenheit benötigt wird). Es ist $H_{\mathrm {dR} }^{2n}(M)\cong \mathbb {R} ^{b_{2}(M)}$ und die Einschränkung auf $\mathbb {Z} ^{b_{2n}(M)}$ ergibt genau die zuvor definierte Schnittform, also insbesondere auch die Einschränkung des Bildes von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {Z}$ .

Definition als Schnitt von Flächen

Für eine geschlossene orientierbare $4n$ -Mannigfaltigkeit $M$ lässt sich jede mittlere Kohomologieklasse $\alpha \in H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ durch eine eingebettete orientierbare Fläche $i\colon A\hookrightarrow M$ darstellen, nämlich, sodass mit ihrer Fundamentalklasse $[A]\in H^{2}(A,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ genau $\alpha =i^{*}[A]$ gilt. Singuläre Kohomologie wird dargestellt durch Eilenberg-McLane-Räume (siehe Brownscher Darstellungssatz), wodurch $\alpha$ eineindeutig der Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $a\colon M\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\simeq \mathbb {C} P^{\infty }$ entspricht. Diese faktorisiert über einen komplexen projektiven Raum $a\colon M\rightarrow \mathbb {C} P^{n}$ (wofür die Kompaktheit aus der Geschlossenheit benötigt wird) und kann durch Homotopie transversal zu $\mathbb {C} P^{n-1}\subset \mathbb {C} P^{n}$ gemacht werden. Dadurch wird $a^{-1}(\mathbb {C} P^{n-1})\subset M$ zu einer Fläche mit der obigen Eigenschaft.^[2] Ebenfalls durch Homotopie können die Schnitte von zwei Flächen von zwei Kohomologieklassen isoliert und transversal gemacht werden. Nun lässt sich die Schnittform definieren als mit Vorzeichen aus der induzierten Orientierung gewerteten Anzahl der Schnitte, welche invariant unter Homotopie ist:^[1]

Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} ,(A,B)\mapsto A\cdot B.

Eigenschaften

Donaldson-Theorem: Definite Schnittformen von kompakten orientierbaren 4-Mannigfaltigkeiten sind (über $\mathbb {Z}$ ) diagonalisierbar.^[3]
Wu-Formel: Für eine orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeit $M$ gilt:

x^{2}=w_{2}(M)\smile x

für alle

x\in H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})

. Insbesondere gilt:

Q_{M}(x,x)\operatorname {mod} 2=Q_{M}(x\operatorname {mod} 2,x\operatorname {mod} 2)=Q_{M}(w_{2}(M),x\operatorname {mod} 2)

für alle

x\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )

. Ist

M

eine Spin-Mannigfaltigkeit, also genau dann wenn

w_{2}(M)=0

, dann ist

Q_{M}

gerade.

Der orientierte Homotopietyp einer einfach zusammenhängenden kompakten orientierbaren 4-Mannigfaltigkeit wird durch deren Schnittform festgelegt.^[4]
Klassifikation von Freedman: Jede unimodulare symmetrische Bilinearform ist die Schnittform einer einfach zusammenhängenden orientierbaren geschlossenen topologischen 4-Mannigfaltigkeit.^[5] Ist die Bilinearform gerade gibt es bis auf orientierungserhaltende Homöomorphie nur eine solche 4-Mannigfaltigkeit. Ist die Bilinearform ungerade gibt es bis auf orientierungserhaltende Homöomorphie zwei solcher 4-Mannigfaltigkeit mit unterschiedlicher binärer Kirby-Siebenmann-Invariante. Maximal eine davon, also eventuell auch keine, besitzt eine kompatible glatte Struktur. Das kommt daher, dass die binäre Kirby-Siebenmann-Invariante angibt, ob das Produkt mit dem Kreis eine kompatible glatte Struktur besitzt. Bei der Mannigfaltigkeit, für die das nicht der Fall ist, kann es also nicht für sich alleine schon der Fall sein. Bei der anderen Mannigfaltigkeit ist es unbekannt. Es ist möglich, dass das Produkt mit dem Kreis eine kompatible glatte Struktur hat, aber die Mannigfaltigkeit selbst nicht.
Einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeiten sind orientierungserhaltend homöomorph genau dann wenn ihre Schnittformen äquivalent sind. Das folgt direkt aus der vorherigen Klassifikation von Freedman.
Einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorphen Schnittformen sind h-kobordant.^[6] Wichtig ist dabei, dass der h-Kobordismus-Satz, gemäß dem die Mannigfaltigkeiten dann sogar diffeomorph wären, erst in fünf oder mehr Dimensionen gilt.^[7]
Es gibt keine einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform $2(-E_{8})$ .^[8]

Beispiele

Die Schnittform des zweiten komplexen projektiven Raumes $\mathbb {C} P^{2}$ sowie des durch Orientierungsumkehr entstehenden Raumes ${\overline {\mathbb {C} P^{2}}}$ sind jeweils:^[9]

Q_{\mathbb {C} P^{2}}=(1);

Q_{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}=(-1).

Die Schnittform der komplexen Fläche $S^{2}\times S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1}\times \mathbb {C} P^{1}$ ist:^[9]

Q_{S^{2}\times S^{2}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

Die Schnittform der K3-Fläche $\mathrm {K3} =\{(x,y,z,w)\in \mathbb {C} P^{3}|x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0\}$ im dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$ , auch Twistor-Raum genannt, ist:^[9]

Q_{\mathrm {K3} }=2(-E_{8})\oplus 3{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

Literatur

Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, New York 1984, ISBN 978-1-4613-9705-2, doi:10.1007/978-1-4613-9703-8 (englisch).
Simon K. Donaldson und Peter B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds. Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8, doi:10.1093/oso/9780198535539.001.0001 (englisch).