Smithsche Determinante

Für eine gegebene natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ werden alle größten gemeinsamen Teiler ${\displaystyle (i,\,j)}$ mit ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ gebildet und in einer quadratischen Matrix angeordnet, wobei ${\displaystyle (i,\,j)}$ als Element der Zeile ${\displaystyle i}$ und der Spalte ${\displaystyle j}$ auftritt. Die aus dieser Matrix gebildete Determinante ist die smithsche Determinante ${\displaystyle S_{n}}$. Es gilt also:^[2]

${\displaystyle S_{n}=\det {\begin{pmatrix}(1,\,1)&(1,\,2)&(1,\,3)&\cdots &(1,\,n-1)&(1,\,n)\\(2,\,1)&(2,\,2)&(2,\,3)&\cdots &(2,\,n-1)&(1,\,n)\\(3,\,1)&(3,\,2)&(3,\,3)&\cdots &(3,\,n-1)&(3,\,n)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(n-1,\,1)&(n-1,\,2)&(n-1,\,3)&\cdots &(n-1,\,n-1)&(n-1,\,n)\\(n,\,1)&(n,\,2)&(n,\,3)&\cdots &(n,\,n-1)&(n,\,n)\\\end{pmatrix}}}$

Smith fand die folgende Formel, die die Verbindung zur Phi-Funktion herstellt:^{[3][A 1]}

Für eine gegebene natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle S_{n}=\varphi (1)\cdot \varphi (2)\cdot \cdots \cdot \varphi (n)}$ .

• J. W. L. Glaisher (Hrsg.): The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith. Vol. I, II. AMS Chelsea Publishing, New York 1965, ISBN 0-8284-0187-X (englisch, Reprint).
• Pentti Haukkanen, Jun Wang, Juha Sillanpää: On Smith's determinant. In: Linear Algebra and its Applications. Band 258, 1997, S. 251–269 (englisch, MR1444107).
• P. J. McCarthy: A generalization of Smith's determinant. In: Canadian Mathematical Bulletin. Band 29, 1986, S. 109–113 (englisch, MR0824893).
• P. J. McCarthy: Arithmetische Funktionen. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-53731-2, S. 22, Übung 1.19.
• Harold N. Shapiro^{[A 2]}: Introduction to the Theory of Numbers (= A Wiley-Interscience Publication. Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1983, ISBN 0-471-86737-3 (englisch, MR0693458).