Smits Paradoxon

Sei ${\displaystyle X_{t}}$ ein schwach stationärer zufälliger Prozess mit unbekanntem konstanten Erwartungswert ${\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})=m}$ und (bekannter) Kovarianzfunktion ${\displaystyle r(t-s)}$. Der Prozess kann für ${\displaystyle t\in T\subset \mathbb {R} }$ beobachtet werden. Seien ${\displaystyle \quad x_{t_{1}},\cdots ,x_{t_{n}};\quad t_{i}\in T\quad n}$ (diskrete) Beobachtungen und ${\displaystyle x_{t},t\in T}$ die kontinuierliche Beobachtung des Prozesses über das gesamte ${\displaystyle T}$. Dann sind

${\displaystyle {\hat {m}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{t_{i}};\quad \quad {\tilde {m}}={\frac {1}{|T|}}\int _{T}x_{t}\,\mathrm {d} t}$

erwartungstreue Schätzungen für ${\displaystyle m}$. Intuitiv scheint klar zu sein, dass ${\displaystyle {\tilde {m}}}$ besser ist als ${\displaystyle {\hat {m}}}$, weil es mehr Informationen ausnutzt, nämlich Informationen aus ganz ${\displaystyle T}$, während ${\displaystyle {\hat {m}}}$ nur punktuelle Informationen nutzt. Doch schon für einfache Spezialfälle zeigt sich das Gegenteil: ${\displaystyle {\hat {m}}}$ ist besser als ${\displaystyle {\tilde {m}}}$, wenn man die Varianz der Schätzer als Kriterium nimmt:

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {m}})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}r(t_{i}-t_{j});\quad \operatorname {Var} ({\tilde {m}})={\frac {1}{|T|^{2}}}\int _{T}\int _{T}r(t-s)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} s}$

Die Schätzung ${\displaystyle {\tilde {m}}}$ ist für ${\displaystyle m}$ nicht die beste lineare erwartungstreue Schätzung (englisch Best Linear Unbiased Estimator, kurz BLUE), ${\displaystyle {\hat {m}}}$ wird also mit einer nicht-optimalen Schätzung verglichen. Die BLUE für ${\displaystyle m}$ ergibt sich nach einem Satz von Grenander^[3] in Form eines Stieltjesintegrales ${\displaystyle {\tilde {m}}^{*}=\int _{T}x_{t}\,\mathrm {d} G^{*}(t);\quad \int _{T}\mathrm {d} G^{*}(t)=1}$ als Lösung der Integralgleichung ${\displaystyle \int _{T}r(t-s)\,\mathrm {d} G^{*}(t)=c}$ mit ${\displaystyle c=\operatorname {Var} ({\tilde {m}}^{*})}$.

Das für stochastische Prozesse geschilderte Phänomen gilt auch für zufällige Felder. Insbesondere in der Geostatistik ist es wichtig zu wissen, dass eine Netzverdichtung in Geoinformationssystemen keineswegs automatisch zu besseren Schätzergebnissen führt.^[5]