Stufe (Algebra)

Sei ${\displaystyle F}$ ein Körper. Kann ${\displaystyle -1}$ als Summe von Quadraten in ${\displaystyle F}$ dargestellt werden, dann nennt man die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle s}$, so dass ${\displaystyle -1}$ die Summe von ${\displaystyle s}$ Quadraten ist, die Stufe von ${\displaystyle F}$. Falls ${\displaystyle -1}$ nicht als Summe von Quadraten dargestellt werden kann, so setzt man ${\displaystyle s=\infty }$.^[1]

• Ist ${\displaystyle F}$ ein nicht-reeller Körper, dann ist die Stufe von ${\displaystyle F}$ endlich.

• Für einen nicht-reellen Körper ${\displaystyle F}$ gilt ${\displaystyle s(F)=2^{k}}$ für ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

• Es gilt ${\displaystyle s(F)\leq 2}$ für alle Körper ${\displaystyle F}$ mit positiver Charakteristik.