Sylvestermatrix

Seien ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring sowie ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zwei Polynome

${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{m}f_{i}X^{i}=f_{0}+f_{1}X+\cdots +f_{m}X^{m}\quad }$ und ${\displaystyle \quad g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}=g_{0}+g_{1}X+\cdots +g_{n}X^{n}}$

aus dem Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ mit den Graden ${\displaystyle \deg(f)=m\geq 1}$ und ${\displaystyle \deg(g)=n\geq 1}$.

Dann heißt die quadratische ${\displaystyle (m+n)}$-Matrix^[1]

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&0&\cdots &0\\0&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &&&&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}\\g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &0\\0&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &&&&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{1}(f)\\\vdots \\S_{n}(f)\\S_{1}(g)\\\vdots \\S_{m}(g)\end{pmatrix}}}$

die Sylvestermatrix zu ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$. Die ${\displaystyle S_{i}(P)}$ stehen für eine Zeile der Matrix mit Koeffizienten des Polynoms ${\displaystyle P\in \{f,g\}}$.

Für das Polynom ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle \deg(f)+1}$ Koeffizienten gibt es ${\displaystyle n=\deg(g)}$ Zeilen mit verschobenen Koeffizienten, weil ${\displaystyle n+m-(\deg(f)+1)=n-1}$ Einträge in einer Zeile jeweils mit ${\displaystyle 0}$ gefüllt sind. Daraus folgt: Die erste Zeile, die ganz links in der Matrix beginnt, kann insgesamt ${\displaystyle n-1}$ mal nach rechts verschoben werden.

Beispiel: Seien ${\displaystyle \deg(f)=4}$ und ${\displaystyle \deg(g)=3}$, dann ist die Sylvestermatrix

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0&0\\[2mm]0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0\\[1mm]0&0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\\[1mm]g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0&0\\[1mm]0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0\\[1mm]0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0\\[1mm]0&0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}\end{pmatrix}}}$

Die trunkierte Sylvester-Matrix ${\displaystyle M_{ji}}$ wird verwendet, um den Grad des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zu bestimmen.

Für ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq \min(m,n)}$ entsteht ${\displaystyle M_{ji}}$ aus der Sylvestermatrix durch folgende Schritte^[2]

• Man behält die ersten ${\displaystyle m-j}$ Zeilen von ${\displaystyle f}$-Koeffizienten,
• Man behält die ersten ${\displaystyle n-j}$ Zeilen von ${\displaystyle g}$-Koeffizienten,
• Man behält die ersten ${\displaystyle m+n-2j}$ Spalten

${\displaystyle M_{ji}={\begin{pmatrix}f_{m}&&\cdots &&&f_{0}&0&0\\0&\ddots &&&&&\ddots &0\\0&0&f_{m}&&&&&f_{0}\\0&0&0&f_{m}&&&&f_{1}\\0&0&0&0&\ddots &&&\vdots \\0&0&0&0&0&f_{m}&\cdots &f_{j}\\g_{n}&&\cdots &&&g_{0}&0&0\\0&\ddots &&&&&\ddots &0\\0&0&g_{n}&&&&&g_{0}\\0&0&0&g_{n}&&&&g_{1}\\0&0&0&0&\ddots &&&\vdots \\0&0&0&0&0&g_{n}&\cdots &g_{j}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M_{ij}}$ ist dann eine ${\displaystyle (m+n-2j)\times (m+n-2j)}$-Matrix.

Das Polynom

${\displaystyle S_{j}(f,g)=\sum _{i=0}^{j}\left(\det M_{ji}\right)\,X^{i}}$

ist dann die ${\displaystyle j}$-te Subresultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$; ihr Leitkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {psc} _{j}(f,g)=\det M_{jj}}$

ist der ${\displaystyle j}$-te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der ${\displaystyle 0}$-te Hauptsubresultantenkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {res} (f,g)=\det \operatorname {Syl} (f,g)}$

schließlich ist die Resultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$.

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von ${\displaystyle \operatorname {ggT} (f,g)}$ für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste ${\displaystyle k\geq 0}$ mit ${\displaystyle \operatorname {psc} _{k}(f,g)\neq 0}$.