Tangenssatz

Für die drei Seiten ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ gilt:

${\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}$^{[H 1]}

Wegen

${\displaystyle \tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\right)=\cot {\frac {\alpha }{2}}}$

kann man diese Formel auch schreiben als

${\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}$

Analoge Formeln für ${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}$ und ${\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}}$ erhält man durch zyklische Vertauschung:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {c+a}{c-a}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}$

Wegen ${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}$ bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also zum Beispiel:

${\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}}$

Eine Verallgemeinerung des Tangenssatzes gilt für Sehnenvierecke ${\displaystyle ABCD}$. Für die Seitenlängen ${\displaystyle a=|{\overline {AB}}|}$, ${\displaystyle b=|{\overline {BC}}|}$, ${\displaystyle c=|{\overline {CD}}|}$, ${\displaystyle d=|{\overline {DA}}|}$ und die Winkelgrößen ${\displaystyle \alpha =\angle {DAB}}$, ${\displaystyle \beta =\angle {ABC}}$ gilt:^[1]

${\displaystyle {\frac {(a+c)\cdot (b+d)}{(a-c)\cdot (b-d)}}={\frac {\tan {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

Diese Formel reduziert sich für ${\displaystyle c=0}$ auf den Tangenssatz für Dreiecke.

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen^[2][3]

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {a+b}{2}}}{\tan {\frac {a-b}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {b+c}{2}}}{\tan {\frac {b-c}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {c+a}{2}}}{\tan {\frac {c-a}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}$

Dabei sind ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ die gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

• Sinussatz
• Kosinussatz
• Formelsammlung Trigonometrie

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 617 ff.,622.
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer 2007, S. 129 (Auszug (Google))
• Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. I: Ebene Trigonometrie. II: Sphärik und sphärische Trigonometrie. Walter de Gruyter, 1923, ISBN 3-11-144776-6, S. 79–82, doi:10.1515/9783111447766.70, Auszug (Google)

• Eric W. Weisstein: Law of Tangents. In: MathWorld (englisch).