Windschiefe

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Windschiefe von zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ nachzuweisen:

• Die Windschiefe lässt sich direkt anhand der Definition nachweisen. Es muss also gezeigt werden, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind und sich außerdem nicht schneiden.

• Alternativ genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von ${\displaystyle g}$, ein Richtungsvektor von ${\displaystyle h}$ und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf ${\displaystyle g}$ zu einem Punkt auf ${\displaystyle h}$ linear unabhängig sind.^[4]
• Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.^[5]

Das Gemeinlot zweier Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ist die eindeutig bestimmte Strecke, die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Es handelt sich um die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Graden, weshalb seine Länge den Abstand ${\displaystyle d(g,h)}$ der beiden Geraden definiert.^[6]

Gegeben seien die windschiefen Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ mit den Stützpunkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bzw. den Stützvektoren ${\displaystyle {\vec {a}}={\overrightarrow {OA}},\;{\vec {b}}={\overrightarrow {OB}}}$ und den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

${\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}}$

${\displaystyle h\colon \ {\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$,

wobei ${\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ist und die drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}}$ linear unabhängig sind.

Der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden lässt sich berechnen mithilfe des Verbindungsvektor ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}}$ der beiden Stützpunkte und eines Einheitsvektors ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$, der senkrecht auf ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$ steht (und damit in Richtung des Gemeinlots zeigt):^[7]

${\displaystyle d(g,h)=|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {n}}_{0}|\,.}$

Einen solchen Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ erhält man z. B. durch Bildung des Kreuzprodukts ${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}}$, das per Konstruktion senkrecht auf den beiden (nicht parallelen) Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$ steht, und anschließende Normierung. Einsetzen dieses Normaleneinheitsvektor in die obige Gleichung liefert eine Abstandsformel, die von den gegebenen Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$ abhängt:^[8]

${\displaystyle d(g,h)={\frac {\left|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {w}})\right|}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}\,.}$

Der Ausdruck ${\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$ ist das Spatprodukt der Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}},{\vec {v}},{\vec {w}}}$, welches sich auch schreiben lässt als Determinante der aus diesen Vektoren zusammengesetzten Matrix${\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}},{\vec {v}},{\vec {w}}).}$ Damit erhält man als weitere Abstandsformel^[9]

${\displaystyle d(g,h)={\frac {\left|\det({\vec {a}}-{\vec {b}},{\vec {v}},{\vec {w}})\right|}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}\,.}$

• Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger: Grundwissen Mathematikstudium. 2. Auflage. Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 249–250.