Zermelosystem

Ein Zermelosystem bezeichnet in der Mengenlehre ein Teilmengensystem und entspringt Ernst Zermelos Beweis des Vergleichbarkeitssatzes.

Eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ heißt eine Kette von Teilmengen (⊆-Kette), falls: ${\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {T}}:x\subseteq y\lor y\subseteq x}$

Eine nichtleere Menge ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ heißt ein Zermelosystem, wenn für alle ⊆-Ketten ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ gilt: ${\displaystyle \cup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {Z}}}$

Sei ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ein Zermelosystem, dann heißt ${\displaystyle x}$ ein Ziel von ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$, wenn gilt: ${\displaystyle \forall y\in {\mathcal {Z}},x\neq y\Rightarrow x\,\not \subset \,y}$

Man kann mithilfe des Auswahlaxioms beweisen, dass ein solches Ziel in jedem Zermelosystem existiert.

• Siehe auch: Mächtigkeit