Conjetura de Painlevé

Las soluciones ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ del problema de los n cuerpos ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$ (donde M son las masas y U indica el potencial gravitatorio) se dice que tienen una singularidad si existe una secuencia de instantes ${\displaystyle t_{n}}$ que convergen a un ${\displaystyle t^{*}}$ finito donde ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$. Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún instante finito en el tiempo.

Una "singularidad de colisión" se produce si ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ tiende a un límite definido cuando ${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$. Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o sin colisión.

Paul Painlevé demostró que para n = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad con colisión. Sin embargo, no pudo extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que:

Para n ≥ 4 el problema de los n cuerpos admite singularidades sin colisión.^[6][7]

Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces ${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$ tiende a un límite definido como ${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$, donde ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$ es el momento de inercia.^[8] Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se hace ilimitada (puesto que las posiciones ${\displaystyle \mathbf {q} }$ permanecen finitas hasta este punto).^[1]

Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que una singularidad sin colisión puede darse en el problema co-lineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas).^[9]

Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones sin singularidad.^[10]

En 1984, Joe Gerver dio un argumento para una singularidad de no colisión en el problema planar de 5 cuerpos sin colisiones.^[11] Posteriormente encontró una prueba para el caso de cuerpo 3n .^[12]

Por último, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión.^[3][4]

Joe Gerver ha facilitado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos^[13] pero en la actualidad no existe ninguna prueba formal.