Distribución de Landau

La función de densidad de probabilidad, tal como fue escrita originalmente por Landau, está definida por la integral compleja:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

donde a es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario que se interseque con el semieje real positivo, y ${\displaystyle \log }$ se refiere al logaritmo natural.

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables con parámetros de estabilidad ${\displaystyle \alpha =1}$ y de asimetría ${\displaystyle \beta =1}$,^[2] con la función característica:^[3]

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right),}$

donde ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ y ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$, que produce una función de densidad:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt.}$

Observemos que la forma original de ${\displaystyle p(x)}$ se obtiene para ${\displaystyle \mu =0}$ y ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$, mientras que la siguiente es una aproximación^[4] de ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$ para ${\displaystyle \mu =0}$ y ${\displaystyle c=1}$:

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ entonces ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.
• La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad ${\displaystyle \alpha }$ y parámetro de asimetría ${\displaystyle \beta }$ ambos iguales a 1.