Distribución triangular

En probabilidad y estadística, la distribución triangular es una familia de distribuciones continuas de probabilidad que tiene un valor mínimo a, un valor máximo b y una moda c, de modo que la función de densidad de probabilidad es cero para los extremos (a y b), y afín entre cada extremo y la moda, por lo que su gráfico es un triángulo.

Parámetros

a:~a\in (-\infty ,\infty )

b:~a<b\,

c:~a\leq c\leq b\,

Función de densidad (pdf)

{\begin{cases}0&{\text{para }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para }}b<x.\end{cases}}

Función de distribución (cdf)

{\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}

Media

{\frac {a+b+c}{3}}

Datos rápidos Parámetros, Función de densidad (pdf) ...

Distribución triangular
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$a:~a\in (-\infty ,\infty )$ $b:~a<b\,$ $c:~a\leq c\leq b\,$
Función de densidad (pdf)	${\begin{cases}0&{\text{para }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para }}b<x.\end{cases}}$
Función de distribución (cdf)	${\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}$
Media	${\frac {a+b+c}{3}}$
Mediana	${\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}$
Moda	$c$
Varianza	${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
Curtosis	$-{\frac {3}{5}}$
Entropía	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
Función generadora de momentos (mgf)	$2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
Función característica	$-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
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Historia

1757 … Simpson discutió varias posibles distribuciones de error. Lo primero que consideró fue la distribución uniforme, seguida por la distribución triangular continua simétrica

Densidad

La función densidad de probabilidad es

f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para otros casos}}\end{cases}}

Características de la distribución

Parámetros: $a\colon a\in (-\infty ,\infty )$
$b\colon b>a$
$c\colon a\leq c\leq b$
Soporte: $a\leq x\leq b$
Función de probabilidad acumulada: = ${\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}$
Media: ${\frac {a+b+c}{3}}$
Mediana: ${\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\geq {\frac {a+b}{2}}\\[4pt]b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\leq {\frac {a+b}{2}}\end{cases}}$
Moda: $c$
Varianza: ${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
Restricciones: ${\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
Curtosis: $-{\frac {3}{5}}$
Entropía: ${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
Función generadora de momentos: $2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
Función característica: $-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$

Uso de la distribución triangular

La distribución triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una población para la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales y, especialmente en casos en que la relación entre variables es conocida pero los datos son escasos (posiblemente porque es alto el costo de recolectarlos). Está basada en un conocimiento del mínimo y el máximo y un "pálpito inspirado"^[1] como el del valor modal. Por estos motivos, la Distribución Triangular ha sido denominada como la de "falta de precisión" o de información.

Distribución triangular

Historia

Densidad

Características de la distribución

Uso de la distribución triangular

Referencias

Enlaces externos

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