Función constante

La gráfica de una función real constante es una recta horizontal en el plano cartesiano. Si la coordenada y viene dada por la función

${\displaystyle y=f(x)\,}$

y esta siempre toma un mismo valor constante c, es decir, el valor de la función no depende de x, entonces

${\displaystyle y=c}$.

Como la variable dependiente y no cambia entre diferentes valores de x se tiene que:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0}$

la variación de y respecto a x es cero. Una función constante es siempre continua y diferenciable.

La integral de la función constante:

${\displaystyle f(x)=c}$

en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ es:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;=\int _{a}^{b}c\,dx\;=c\;\int _{a}^{b}\,dx\;=c\;x{\Big ]}_{a}^{b}\;=c\;(b-a)}$

Las funciones constantes son la base sobre las que se define la integral de Lebesgue.

Si un polinomio en general tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$,

una función constante es un caso particular de esta expresión con ${\displaystyle n=0}$. Una función constante es una función polinómica de grado 0 (salvo ${\displaystyle f(x)=0}$, que no tiene grado definido):

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{0}a_{i}x^{i}=a_{0}x^{0}=a_{0}}$,

donde ${\displaystyle a_{0}}$ es el término independiente del polinomio.

En el contexto general de una función ${\displaystyle f:X\to Y}$, entre los conjuntos arbitrarios ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, se dice que ${\displaystyle f}$ es constante si a cada elemento de ${\displaystyle X}$ se le asigna el mismo elemento ${\displaystyle y\in Y}$.

Si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espacios topológicos, entonces toda función ${\displaystyle f}$ constante es continua, ya que la preimagen de cualquier abierto de ${\displaystyle Y}$ es, o bien todo ${\displaystyle X}$ (si ${\displaystyle y}$ está en el abierto) o bien el conjunto vacío, en otro caso.

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