Integral de Euler

En matemáticas, hay dos tipos de integral de Euler:^[1]

1. La integral de Euler de primer orden es la función de beta

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

2. La integral de Euler de segundo orden es el función gamma

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,dt}$

Para enteros positivos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$, las dos integrales pueden ser expresadas en términos de factoriales y coeficientes binomiales:

${\displaystyle \mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}=\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right){\frac {1}{\binom {n+m}{n}}}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$