Modelo de Drude

El modelo clásico de Drude describe un material conductor como una red de iones positivos inmóviles atravesada por un "gas" de electrones libres de densidad n. Estos electrones pueden moverse bajo la influencia de un campo eléctrico externo, pero su movimiento se ve amortiguado por colisiones con los iones del retículo cristalino, caracterizadas por un tiempo de relajación τ. Es precisamente este conjunto de electrones libres el que da lugar a la conductividad eléctrica del metal.^[3]

Sin embargo, en muchos materiales también existen electrones *ligados* a los núcleos atómicos, que no pueden moverse libremente pero pueden oscilar alrededor de su posición de equilibrio cuando se someten a un campo eléctrico oscilante, como el de una onda electromagnética. El modelo de Lorentz describe esta contribución de los electrones ligados mediante osciladores armónicos, con una frecuencia propia de oscilación ω₀ y un término amortiguador que representa pérdidas.^[4]

La combinación de ambos enfoques —el de Drude para los electrones libres y el de Lorentz para los electrones ligados— da lugar al llamado modelo de Lorentz–Drude. En este modelo, un mismo material puede tener dos tipos de respuesta electrónica simultáneas:^[3]

• La respuesta de los electrones libres (modelo de Drude), que domina la conductividad eléctrica y explica cómo los portadores de carga contribuyen al transporte de corriente.
• La respuesta de los electrones ligados (modelo de Lorentz), que domina la dispersión óptica a frecuencias más altas y permite describir la interacción del material con la luz, incluyendo fenómenos de absorción, resonancia y reflexión.

En resumen, el modelo de Drude–Lorentz combina los efectos de los electrones libres y ligados, ofreciendo una descripción más completa de las propiedades tanto eléctricas como ópticas de los materiales. Por ello, el modelo recibe el nombre conjunto de ambos autores: Drude por la parte conductiva y Lorentz por la parte óptica.

La siguiente tabla muestra de manera clara las contribuciones que realizó cada autor al modelo:

Autor	Aportación principal	Contribución al modelo final
Hendrik A. Lorentz	Propuso que los electrones están ligados al núcleo y responden a los campos eléctricos como osciladores armónicos con una frecuencia natural de resonancia. Su modelo explicó la dispersión y absorción óptica en materiales dieléctricos.	Aporta el concepto de electrones ligados y la idea de resonancia óptica, fundamentales para describir cómo la luz interactúa con los átomos.
Paul Drude	Aplicó la teoría cinética de los gases a los metales, considerando los electrones como un gas de partículas libres que chocan con los iones. Explicó la conductividad eléctrica y térmica, e introdujo la frecuencia de plasma.	Aporta la descripción de los electrones libres y la base de la conductividad y la respuesta óptica de los metales.
Modelo de Drude–Lorentz	Integra ambas ideas: los electrones libres de Drude y los ligados de Lorentz, describiendo así la respuesta completa de los materiales frente a campos eléctricos y radiación.	Permite explicar simultáneamente la conductividad, la reflectividad y la dispersión óptica, siendo la base clásica de la óptica y electrónica de materiales.

El modelo de Drude supone que un portador promedio de carga eléctrica está sujeto a la acción de una "fuerza de resistencia" ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$. En presencia de un campo eléctrico externo E se satisface la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle {\vec {v}}\rangle =q{\vec {E}}-\gamma \langle {\vec {v}}\rangle }$

donde ${\displaystyle \langle {\vec {v}}\rangle }$ es la velocidad promedio, m es la masa efectiva y q la carga eléctrica del portador de carga. La solución estacionaria:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\vec {v}}\rangle =0}$

de esta ecuación diferencial es:

${\displaystyle \langle {\vec {v}}\rangle ={\frac {q\tau }{m}}{\vec {E}}=\mu {\vec {E}}}$

donde:

${\displaystyle \tau ={\frac {m}{\gamma }}}$ es el tiempo libre medio de un portador de carga, y

${\displaystyle \,\mu }$ es la movilidad eléctrica.

Si se introduce la densidad del gas de portadores de carga n (partículas por unidad de volumen), podemos relacionar a la velocidad promedio con una corriente eléctrica:

${\displaystyle {\vec {J}}=nq\langle {\vec {v}}\rangle }$

Se puede demostrar que el material satisface la ley de Ohm con una conductividad eléctrica en corriente eléctrica continua ${\displaystyle \,\sigma _{0}}$.

${\displaystyle {\vec {J}}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}{\vec {E}}=\sigma _{0}{\vec {E}}}$

El modelo de Drude permite también predecir la corriente como una respuesta a un campo eléctrico variable en el tiempo con una frecuencia angular ${\displaystyle \,\omega }$, en cuyo caso:

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}}$

donde se ha supuesto que:

${\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t})}$

${\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t})}$

Existe otra convención en la que, ${\displaystyle \,i}$ es reemplazado por ${\displaystyle \,-i}$ en todas las ecuaciones. La parte imaginaria indica que la corriente está retrasada respecto al campo eléctrico, lo que se produce porque los electrones necesitan aproximadamente un tiempo ${\displaystyle \,\tau }$ para acelerarse en respuesta a un cambio en el campo eléctrico aplicado. En el caso previo el modelo de Drude se aplicó a los electrones; pero también puede ser aplicado a los huecos, es decir a los portadores de carga positiva en los semiconductores.

Denotando mediante n_A la densidad de electrones por unidad de volumen se obtiene una ecuación que relaciona el vector de polarización y el campo eléctrico:

${\displaystyle {\vec {P}}=n_{A}\left\langle \pi \right\rangle =-n_{A}e{\vec {r}}(t)}$

Donde ${\displaystyle \langle \pi \rangle }$ representa el valor medio del momento dipolar eléctrico del electrón ligado. El movimiento de los electrones ligados vendría dado por la siguiente ecuación:

${\displaystyle m{\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}=-e({\vec {E}}_{m}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{m})-k{\vec {r}}-\beta {\vec {v}}}$

donde E_m y B_m son los campos eléctrico y magnético a nivel microscópico. Los otros términos del segundo miembro representan respectivamente la fuerza elástica y una fuerza "viscosa", que en el modelo trata de simular la continua pérdida de energía debida al efecto Joule. Dividiendo ahora por la masa y multiplicando por el factor –e n_A se obtiene:

${\displaystyle -en_{A}{\frac {\partial ^{2}\langle {\vec {r}}\rangle }{\partial t^{2}}}+{\frac {e^{2}n_{A}}{m}}{\vec {E}}+en_{A}\omega _{0}^{2}\langle {\vec {r}}\rangle =en_{a}\gamma {\frac {\partial \langle {\vec {r}}\rangle }{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}}{\partial t^{2}}}+\gamma {\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}+\omega _{0}^{2}{\vec {P}}={\frac {e^{2}n_{A}}{m}}{\vec {E}}}$

Donde se ha introducido ${\displaystyle \scriptstyle k/m=\omega _{0}^{2}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle \beta /m=\gamma }$.

El modelo de Drude no solo permite describir el transporte eléctrico en los metales, sino también su comportamiento óptico frente a la radiación electromagnética.^[5] Cuando una onda luminosa incide sobre un metal el campo eléctrico de la luz induce un movimiento oscilatorio de los electrones libres. Este fenómeno es responsable de la alta reflectividad característica de los metales en el rango visible.

Frecuencia de plasma

Las oscilaciones colectivas de los electrones se conocen como oscilaciones de plasma y dan lugar a la frecuencia de plasma. Dicha frecuencia marca el límite entre reflexión y la transmisión de la radiación electromagnética en materiales con electrones libres. ^[6]

A partir de la solución estacionaria del modelo, se puede relacionar el desplazamiento medio de los electrones con el campo eléctrico aplicado. Con esto se obtiene la polarización macroscópica del material. Finalmente, al sustituir esta polarización en la ecuación de la permitividad dieléctrica (ε_r), se obtiene la expresión correspondiente:

${\displaystyle {\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {Ne^{2}}{\varepsilon _{0}m_{0}\left(\omega ^{2}+i\gamma \omega \right)}}}}$

Donde:

• N_e es la densidad de electrones libres (número de electrones por unidad de volumen
• ε₀ es la permitividad del vacío
• ω  la frecuencia angular de la radiación incidente.

La expresión anterior se reescribe definiendo un nuevo parámetro característico:

${\displaystyle {\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {Ne^{2}}{\varepsilon _{0}m_{0}}}}}$

De modo que la permitividad puede escribirse como:

${\displaystyle {\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}+i\gamma \omega }}}}$

El término ω_p recibe el nombre de frecuencia de plasma, y representa la frecuencia natural de resonancia de los electrones libres en el material, siendo independiente del tipo de material siempre que el comportamiento de los portadores pueda considerarse libre.^[7]

Reflexión de los metales

La reflectividad, ${\displaystyle R}$, de un metal puede aproximarse, en ausencia de pérdidas significativas, mediante la ecuación de Fresnel para incidencia normal:^[5]

${\displaystyle R=\left|{\frac {n-1}{n+1}}\right|^{2}}$

donde ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon (\omega )/\varepsilon _{0}}}}$ es el índice de refracción complejo del material.

Introduciendo esta definición de n en la expresión anterior para la reflectividad, tendremos que:

Para ω < ω_p: La parte real de la permitividad es negativa, lo que implica que el índice de refracción es imaginario. Por ello, las ondas electromagnéticas no pueden propagarse en el material y son reflejadas casi totalmente. Este comportamiento explica la alta reflectividad de los metales en el visible y el infrarrojo y en consecuencia el brillo metálico de sustancias como el oro o la plata.

Para ω > ω_p: la parte real de la permitividad se hace positiva, permitiendo la propagación de las ondas electromagnéticas. Por este motivo, los metales se vuelven transparentes en el ultravioleta. El valor de la frecuencia de plasma suele situarse en el rango del ultravioleta para la mayoría de los metales, razón por la cual reflejan la luz visible, pero permiten el paso de radiación de energía más alta.^[8]

Interpretación física

En resumen, el modelo de Drude predice correctamente que los metales reflejan la luz visible debido a su alta densidad de electrones libres y a la existencia de la frecuencia de plasma.^[9] La mayoría de los metales presentan valores de ${\displaystyle \omega _{p}}$ en el ultravioleta, por lo que el rango visible (${\displaystyle \sim 10^{15}\,{\text{Hz}}}$) queda por debajo de dicha frecuencia, haciendo que la luz visible no penetre y se refleje casi por completo.

Este modelo ofrece una buena explicación para la conductividad de CC y CA en metales, el efecto Hall, y la conductividad térmica (debida a electrones) en metales, pero falla al no proveer una explicación para la disparidad entre las capacidades caloríficas de los metales en comparación con la de los materiales aislantes. En un aislador eléctrico, se esperaría que la capacidad calórica sea cero dado que no existen electrones libres. En la realidad, los metales y los aisladores eléctricos poseen aproximadamente la misma capacidad calorífica a temperatura ambiente. El modelo de Drude también falla en explicar la existencia de portadores de carga aparentemente positivos como demuestra el efecto Hall.

• Teoría del electrón libre (modelo de Drude-Sommerfeld)