Nímero

Nim

Artículo principal: Nim (juego)

Nim es un juego en el cual dos jugadores se turnan para quitar objetos de distintos montones. Como los movimientos dependen solo de la posición y no de cuál de los dos jugadores se está moviendo actualmente, y donde los pagos son simétricos, Nim es un juego imparcial. En cada turno, un jugador debe eliminar al menos un objeto y puede eliminar cualquier número de objetos siempre que todos provengan del mismo montón. El objetivo del juego es ser el jugador que retire el último objeto. Usando la suma nim, cada montón se puede sumar para dar un valor nim para el montón. Además, como todos los montones juntos se pueden sumar usando la suma nim, se puede calcular el nímero del juego como un todo. La estrategia ganadora de este juego es forzar el nímero acumulativo del juego a 0 para el turno del oponente.^[2]

Cram

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Cram es un juego que a menudo se juega en un tablero rectangular en el que los jugadores se turnan para colocar dominós horizontal o verticalmente hasta que no se puedan colocar más dominós. El primer jugador que no pueda hacer un movimiento, pierde. Como los movimientos posibles para ambos jugadores son los mismos, es un juego imparcial y puede tener un valor ágil. Si cada fila y columna se considera un montón, entonces el valor del juego es la suma de todas las filas y columnas usando una suma ágil. Por ejemplo, cualquier tablero 2xn tendrá un nímero de 0 para todos los n pares y un nímero de 1 para todos los n impares.

Juego de Northcott

Un juego donde se colocan clavijas para cada jugador a lo largo de una columna con un número finito de espacios. Cada turno, cada jugador debe mover la pieza hacia arriba o hacia abajo en la columna, pero no puede pasar la pieza del otro jugador. Varias columnas se apilan juntas para agregar complejidad. El jugador que ya no puede hacer ningún movimiento pierde. A diferencia de muchos otros juegos relacionados con nímero, la cantidad de espacios entre las dos fichas en cada fila son los tamaños de los montones de Nim. Si tu oponente aumenta el número de espacios entre dos fichas, simplemente redúcelo en tu próximo movimiento. De lo contrario, juega el juego de Nim y haz que la suma de Nim del número de espacios entre las fichas en cada fila sea 0.^[3]

Hackenbush

Artículo principal: Hackenbush

Hackenbush es un juego inventado por el matemático John Horton Conway. Se puede reproducir en cualquier configuración de segmentos de línea de colores conectados entre sí por sus puntos finales y a una línea de "tierra". los jugadores se turnan para eliminar segmentos de línea. Se puede encontrar una versión de juego imparcial, por lo que se puede encontrar un juego que se pueda analizar usando nímeros eliminando la distinción de las líneas, lo que permite a cualquier jugador cortar cualquier rama. También se eliminan todos los segmentos que dependen del segmento recién eliminado para conectarse a la línea de tierra. De esta manera, cada conexión a tierra puede considerarse un montón de nim con un valor nímero. Además, todas las conexiones separadas a la línea de tierra también se pueden sumar para un poco del estado del juego.

La suma nim se utiliza para calcular el tamaño del montón de nim único equivalente a una colección de montones de nim. Se define de forma recursiva mediante

α ⊕ β = mex({α′ ⊕ β : α' < α} ∪ {α ⊕ β′ : β′ < β}),

donde la exclusión mínima mex(S) de un conjunto S se define de ordinales ser el ordinal más pequeño que es no un elemento de S.

Para los ordinales finitos, la suma nim se evalúa fácilmente en una computadora tomando el bit a bit exclusivo o (XOR, denotado por ⊕) de los números correspondientes. Por ejemplo, la suma nim de 7 y 14 se puede encontrar escribiendo 7 como 111 y 14 como 1110; el lugar de las unidades se suma a 1; el lugar de dos se suma a 2, que reemplazamos con 0; el lugar de cuatro se suma a 2, que reemplazamos con 0; el lugar de los ochos se suma a 1. Entonces, la suma nim se escribe en binario como 1001, o en decimal como 9.

Esta propiedad de la suma se deriva del hecho de que tanto mex como XOR producen una estrategia ganadora para Nim y solo puede haber una de esas estrategias; o puede mostrarse directamente por inducción: Sean α y β dos ordinales finitos, y suponga que la suma nim de todos los pares con uno de ellos reducido ya está definida. El único número cuyo XOR con α ⊕ β es β, y viceversa; por tanto, α ⊕ β se excluye. Por otro lado, para cualquier ordinal γ < α ⊕ β, la operación XOR ξ ≔ α ⊕ β ⊕ γ con todo α, β y γ debe conducir a una reducción para uno de ellos (ya que el 1 inicial en ξ debe estar presente en al menos uno de los tres); dado que ξ ⊕ γ = α ⊕ β > γ, debemos tener α > ξ ⊕ α = β ⊕ γ o β > ξ ⊕ β = α ⊕ γ; por lo tanto γ se incluye como (β ⊕ γ) ⊕ β o como α ⊕ (α ⊕ γ), y por tanto α ⊕ β es el ordinal excluido mínimo.

La multiplicación nim se define de forma recursiva mediante

α β = mex({α′ β ⊕ α β′ ⊕ α' β′ : α′ < α, β′ < β}).

Excepto por el hecho de que los nímeros forman una clase propia y no un conjunto, la clase de nímeros determina un campo algebraicamente cerrado de característica 2. La identidad aditiva nímero es el ordinal 0, y la identidad nímero multiplicativa es el ordinal 1. De acuerdo con siendo la característica 2, el nímero aditivo inverso del ordinal α es α mismo. El inverso multiplicativo nímero del ordinal α distinto de cero está dado por 1/α = mex(S), donde S es el conjunto más pequeño de ordinales (nímeros) tal que

1. 0 es un elemento de S;
2. si 0 < α′ < α y β′ es un elemento de S, entonces [1 + (α′ − α) β′] / α′ es también un elemento de S.

Para todos los números naturales n , el conjunto de nímeros menores que 2²ⁿ forman el campo de Galois GF(2²ⁿ) de orden 2²ⁿ.

En particular, esto implica que el conjunto de nímeros finitos es isomorfo al límite directo cuando n → ∞ de los campos GF(2²ⁿ). Este subcampo no está algebraicamente cerrado, ya que ningún otro campo GF(2^k) (por lo que con k no es una potencia de 2) está contenido en ninguno de esos campos, y por lo tanto no en su límite directo; por ejemplo, el polinomio x³ + x + 1, que tiene una raíz en GF(2³), no tiene una raíz en el conjunto de nímeros finitos.

Al igual que en el caso de la suma nim, existe un algoritmo para calcular el producto nímero de los ordinales finitos. Esto está determinado por las reglas que

1. El producto nímero de una potencia de Fermat 2 (números de la forma 2²ⁿ) con un número menor es igual a su producto ordinario;
2. El cuadrado nímero de un Fermat de 2 potencias x es igual a 3x/2 como se evalúa bajo la multiplicación ordinaria de números naturales.

El campo de nímeros algebraicamente cerrado más pequeño es el conjunto de nímeros menor que el ordinal ω^ωω, donde ω es el ordinal infinito más pequeño. De ello se deduce que, como nímero, ω^ωω es trascendente sobre el campo.^[4]

Las siguientes tablas muestran la suma y la multiplicación entre los primeros 16 nímeros.
Este subconjunto está cerrado en ambas operaciones, ya que 16 es de la forma 2²ⁿ.

Archivo:Nímeros 0...15 multiplication.svg

Archivo:Nímero products of powers of two.svg

• Números surreales