Orden de un elemento de grupo

En el campo matemático de la teoría de grupos, se denomina orden de un elemento de grupo (o también orden de los elementos) a la mínima potencia natural a la que este debe elevarse para obtener el elemento neutro. Dicho de otra forma, el orden de un elemento ${\displaystyle g}$ de un grupo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ es el número natural ${\displaystyle n>0}$ más pequeño para el que se verifica que ${\displaystyle g^{n}=e}$, donde ${\displaystyle e}$ es el elemento neutro del grupo. Si no existe tal número, se dice que ${\displaystyle g}$ tiene "orden infinito".^[1]

Expreado en fórmulas:

${\displaystyle \operatorname {Ord} (g)={\begin{cases}\min\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}&{\text{si }}{\text{ existe}},\\\infty &{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}}$

Los elementos de orden finito también se denominan torsionales. El orden a veces se denomina ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ o ${\displaystyle \operatorname {o} (g)}$.

La potencia ${\displaystyle g^{n}}$ de un elemento del grupo ${\displaystyle g}$ se define inductivamente para exponentes naturales ${\displaystyle n\geq 0}$:

• ${\displaystyle g^{0}:=e}$
• ${\displaystyle g^{k+1}:=g^{k}\cdot g}$ para todo ${\displaystyle k\geq 0}$ natural

El número ${\displaystyle \exp(G):={\text{Mínimo Común Multiplo }}\left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}}$, cuando es finito, se llama exponente de grupo.