Pirámide pentagonal

El área de una pirámide pentagonal de altura ${\displaystyle h}$ y cuya base es un pentágono regular de lado ${\displaystyle L}$ es^[1]

${\displaystyle A={\frac {5}{4}}\cdot L\cdot {\frac {L+{\sqrt {L^{2}+4h^{2}(5-2{\sqrt {5}})}}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$

Y su volumen es

${\displaystyle V=L^{2}\cdot h\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{12}}}$

La pirámide pentagonal regular tiene una base que es un pentágono regular y caras laterales que son triángulos equiláteros. Es uno de los sólidos de Johnson (J₂). Su altura H, medida desde el punto central de la cara pentagonal hasta la cúspide, mide^[2]

${\displaystyle H=L{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}}$

donde L es la longitud de cualquiera de sus aristas.

El área de la pirámide es

${\displaystyle A={\frac {L^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554\cdot L^{2}}$

Y el volumen es

${\displaystyle V={\frac {L^{3}}{24}}\cdot (5+{\sqrt {5}})}$

Puede considerarse la "tapa" de un icosaedro; el resto del icosaedro forma una pirámide pentagonal giroelongada, J₁₁. Los 92 sólidos de Johnson fueron nombrados y descritos por Norman Johnson en 1966.

De forma más general, una pirámide pentagonal isogonal puede construirse a partir de una base pentagonal regular y 5 lados triangulares isósceles de cualquier altura.

• Pirámide cuadrada
• Sólido de Johnson