Pál Turán

Teoría de números

En 1934 usó el tamiz de Turán para dar una prueba nueva y muy simple de un resultado de 1917 de Godfrey Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan sobre el orden normal del número de primos divisores distintos de un número n, a saber, que es muy cercano a ${\displaystyle \ln \ln n}$. En términos probabilísticos estimó la varianza de ${\displaystyle \ln \ln n}$. El matemático Gábor Halász señaló que "Su verdadero significado radica en el hecho de que fue el punto de partida de la teoría de números probabilística".^[10]: 16 La desigualdad de Turán-Kubilius es una generalización de este trabajo.^{[8]: 5 [10]: 16}

Turán estaba muy interesado en la distribución de números primos en las progresiones aritméticas y acuñó el término "carrera de números primos" para las irregularidades en el teorema de los números primos entre clases de residuos.^[8]: 5 Con su coautor Knapowski probó resultados referentes al sesgo de Chebyshov. La conjetura de Erdős-Turán hace una afirmación sobre números primos en progresión aritmética. Gran parte del trabajo de teoría de números de Turán se ocupó de la hipótesis de Riemann, para lo que desarrolló el método de suma de potencias (véase más abajo). Erdős dijo que "Turán era un 'incrédulo', de hecho, un 'pagano': no creía en la verdad de la hipótesis de Riemann".^[4]: 3

Análisis

Gran parte del trabajo de Turán en análisis estuvo ligado a sus investigaciones en teoría de números. Demostró las desigualdades de Turán, relacionando los valores de los polinomios de Legendre para diferentes índices y, junto con Paul Erdős, la desigualdad de Erdős-Turán.

Teoría de grafos

Erdős escribió sobre Turán: "En 1940-1941 creó el área de problemas de extremos en teoría de grafos, que ahora es uno de los temas de más rápido crecimiento en combinatoria".^[4]: 4 El campo se conoce más brevemente hoy como teoría de grafos extremales. El resultado más conocido de Turán en esta área es el teorema de grafos de Turán, que da un límite superior en el número de aristas en un grafo que no contiene el grafo completo K_r como subgrafo. Inventó el grafo de Turán, una generalización del grafo bipartito completo, para probar su teorema. También es conocido por el teorema de Kővári-Sós-Turán sobre el límite del número de aristas que pueden existir en un grafo bipartito con ciertos subgrafos prohibidos, y por plantear el problema de la fábrica de ladrillos de Turán, es decir, determinar el número de cruces de un gráfico bipartito completo.

Método de la suma de potencias

Turán desarrolló el método de la suma de potencias para trabajar en la hipótesis de Riemann.^{[10]: 9–14} El método trata con desigualdades dando cotas inferiores para sumas de la forma

${\displaystyle \max _{\nu =m+1,\dots ,m+n}\left|\sum _{j=1}^{n}b_{j}z_{j}^{\nu }\right|,}$  de ahí el nombre de "suma de potencias".^[11]: 319

Además de sus aplicaciones en teoría analítica de números, se ha utilizado en análisis complejo, análisis numérico, ecuaciones diferenciales, teoría de números trascendentales y en la estimación del número de ceros de una función en un disco.^[11]: 320