Teorema de Radon–Nikodym

Dado un espacio medible ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to \mathbb {R} } y una medida con signo ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \nu$ :\Sigma \to \mathbb {R} } absolutamente continua con respecto a ${\displaystyle \mu }$, entonces existe una función medible ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ que satisface:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$.

Además, si ${\displaystyle g}$ es otra función medible en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ tal que

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$

entonces ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-casi siempre.

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función ${\displaystyle f}$ que satisface

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$ se la llama derivada de Radon-Nykodym de ${\displaystyle \nu }$ con respecto a ${\displaystyle \mu }$ y suele representarse mediante ${\displaystyle \textstyle f={{d\nu } \over {d\mu }}}$. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Las demostraciones de las siguientes propiedades se pueden encontrar en.^[2]

• Sean ν, μ y λ medidas σ-finitas en el mismo espacio medible. Si ν ≪ λ y μ ≪ λ (ν y μ son ambas absolutamente continuas con respecto a λ), entonces

 $${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• Si ν ≪ μ ≪ λ, entonces

 $${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• En particular, si μ ≪ ν y ν ≪ μ, entonces

 $${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• Si μ ≪ λ y g es una función μ-integrable, entonces

 $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$

• Si ν es una medida con signo finita (también llamada carga) o una medida compleja, entonces

 $${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu  \over d\mu }\right|.}$$