Trinomio

Trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Trinomio irreducible

• Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como ${\displaystyle x^{2}+4x+1}$
• Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como ${\displaystyle x^{2}+x+1}$^[2]

Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.^{[cita requerida]} Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

Ejemplos

Sea:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!}$

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de ${\displaystyle x\,\!}$, resulta que:

${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!}$

Y podemos darnos cuenta de:

${\displaystyle 9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 4y^{2}=(2y)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 12xy=2(3x)(2y)\,\!}$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9x^{2}}}+{\sqrt {4y^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!}$

Sea:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!}$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia (${\displaystyle y}$) tenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!}$

evaluando el trinomio, vemos que:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}\,\!}$

y

${\displaystyle w^{2}=(w)^{2}\,\!}$

por último, vemos que

${\displaystyle 2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z\,\!}$

Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos

1. ${\displaystyle 5x^{4}-3x^{2}-1/4}$, origina una ecuación llamada bicuadrada
2. ${\displaystyle -15t^{12}-3/4t^{6}-13/25}$ un trinomio de duodécimo grado^[3]